Legendre-Konstante

Verlauf von $\ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}$ bis $n=$ 10²⁹
$n$	$\ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}$	$n$	$\ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}$
10¹⁰	−0,19741	10¹⁶	1,02966
10²⁰	0,60517	10¹⁷	1,02776
10³⁰	0,95537	10¹⁸	1,02609
10⁴⁰	1,07364	10¹⁹	1,02460
10⁵⁰	1,08757	10²⁰	1,02328
10⁶⁰	1,07633	10²¹	1,02209
10⁷⁰	1,07098	10²²	1,02102
10⁸⁰	1,06395	10²³	1,02005
10⁹⁰	1,05663	10²⁴	1,01916
10¹⁰	1,05037	10²⁵	1,01835
10¹¹	1,04513	10²⁶	1,01761
10¹²	1,04087	10²⁷	1,01692
10¹³	1,03735	10²⁸	1,01629
10¹⁴	1,03438	10²⁹	1,01570
10¹⁵	1,03184

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798^[1] von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl $n$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Geschichte

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

\lim _{n\to \infty }{\biggl (}\!\ln n-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,

dabei ist $\ln n$ der natürliche Logarithmus von $n$ , $\,\pi (n)$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als $n$ sind, und $B$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst $n=400.000$ und später bis $n=1.000.000$ , auf etwa $1{,}08366$ schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

1849 bewies aber Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dass dieser Grenzwert $B$ , sofern er existiert^[2], den Wert 1 haben muss. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.^[3]

Auch eine Berechnung der Funktion für größere $n$ zeigt, dass sie für größere $n$ wieder fällt, sich zunehmend von $1{,}08366$ entfernt und eher durch $1\!+\!{\tfrac {1}{\ln n}}$ approximiert werden kann, was letztendlich gegen 1 konvergiert (siehe Tabelle rechts).

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,^[4]

\pi (x)={\rm {Li}}(x)+{\mathcal {O}}\!\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty

(für eine positive Konstante $a$ , wobei ${\mathcal {O}}(\dotso )$ das Landau-Symbol ist), dass $B$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard^[5] und Charles de La Vallée Poussin^[6] (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Literatur und Quellen

↑ Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
↑ Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.
↑ János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
↑ Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)
↑ « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361

Weblink

Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).

[L-1] Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)

[2] Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.

[3] János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.

[4] La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899

[5] Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)

[6] « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361

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