Medida de Gibbs

En física y matemáticas, la medida de Gibbs, llamada así en honor a Josiah Willard Gibbs, es una medida de probabilidad que se ve con frecuencia en muchos problemas de teoría de la probabilidad, mecánica estadística y sistemas dinámicos. Es una generalización del conjunto canónico a sistemas infinitos.

El conjunto canónico da la probabilidad de que el sistema X se encuentre en el estado x (equivalente a que la variable aleatoria X tenga el valor x) como

$P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).$

Aquí, E es una función del espacio de estados a los números reales; en aplicaciones físicas, E(x) se interpreta como la energía de la configuración x. El parámetro β es un parámetro libre; en física, es la temperatura inversa. La constante de normalización Z(β) es la función de partición. Sin embargo, en sistemas infinitos, la energía total ya no es un número finito y no se puede utilizar en la construcción tradicional de la distribución de probabilidad de un conjunto canónico. Los enfoques tradicionales de la física estadística estudiaban el límite de las propiedades intensivas a medida que el tamaño de un sistema finito se aproxima al infinito (el límite termodinámico). Cuando la función de energía puede escribirse como una suma de términos que solo involucran variables de un subsistema finito, la noción de medida de Gibbs proporciona un enfoque alternativo. Las medidas de Gibbs fueron propuestas por teóricos de la probabilidad como Dobrushin, Lanford y Ruelle y proporcionaron un marco para estudiar directamente los sistemas infinitos, en lugar de tomar el límite de los sistemas finitos.

Una medida es una medida de Gibbs si las probabilidades condicionales que induce en cada subsistema finito satisfacen una condición de consistencia: si todos los grados de libertad fuera del subsistema finito están congelados, el conjunto canónico para el subsistema sujeto a estas condiciones de contorno coincide con las probabilidades en la medida de Gibbs condicional sobre los grados de libertad congelados.

El teorema de Hammersley-Clifford implica que cualquier medida de probabilidad que satisfaga una propiedad de Markov es una medida de Gibbs para una elección adecuada de la función de energía (definida localmente). Por lo tanto, la medida de Gibbs se aplica a problemas muy extendidos fuera de la física, como las redes de Hopfield, las redes de Markov, las Campos aleatorios de Markov y los juegos de potencial racionalmente limitado en la teoría de juegos y la economía.

Una medida de Gibbs en un sistema con interacciones locales (de rango finito) maximiza la densidad de entropía para una densidad de energía esperada dada; o, de forma equivalente, minimiza la densidad de energía libre.

La medida de Gibbs de un sistema infinito no es necesariamente única, en contraste con el conjunto canónico de un sistema finito, que es único. La existencia de más de una medida de Gibbs está asociada con fenómenos estadísticos como la simetría rota y la coexistencia de fases.

Física estadística

El conjunto de medidas de Gibbs en un sistema es siempre convexo, por lo que existe una medida de Gibbs única (en cuyo caso se dice que el sistema es «ergódico»), o bien hay infinitas (y el sistema se denomina «no ergodic»). En el caso no ergódico, las medidas de Gibbs pueden expresarse como el conjunto de combinaciones convexas de un número mucho menor de medidas de Gibbs especiales conocidas como «estados puros» (que no deben confundirse con el concepto relacionado, pero distinto, de estados puros en mecánica cuántica). En aplicaciones físicas, el Hamiltoniano (la función de energía) suele tener cierto sentido de «localidad», y los estados puros tienen la propiedad de descomposición en clústeres de que los «subsistemas muy separados» son independientes. En la práctica, los sistemas físicamente realistas se encuentran en uno de estos estados puros.

Si el hamiltoniano posee una simetría, entonces una medida de Gibbs única (es decir, ergódica) será necesariamente invariante bajo la simetría. Pero en el caso de medidas de Gibbs múltiples (es decir, no ergódicas), los estados puros normalmente “'no”' son invariantes bajo la simetría del hamiltoniano. Por ejemplo, en el modelo de Ising ferromagnético infinito por debajo de la temperatura crítica, hay dos estados puros, los estados «mayoritariamente arriba» y «mayoritariamente abajo», que se intercambian bajo la simetría $\mathbb {Z} _{2}$ del modelo.

Propiedad de Markov

La propiedad de Markov se ve en la medida de Gibbs del modelo de Ising. La probabilidad de que un espín dado σ_k se encuentre en el estado «s» podría, en principio, depender de los estados de todos los demás espines del sistema. Por lo tanto, podemos escribir la probabilidad como

$P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)$.

Sin embargo, en un modelo de Ising con interacciones de rango finito (por ejemplo, interacciones entre vecinos más cercanos), en realidad tenemos

$P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})$,

donde N_k es un vecindario del sitio k. Es decir, la probabilidad en el sitio k depende «solo» de los espines en un vecindario finito. Esta última ecuación tiene la forma de una propiedad de Markov local. Las medidas con esta propiedad se denominan a veces campos aleatorios de Markov. Más aún, lo contrario también es cierto: «cualquier» distribución de probabilidad positiva (densidad distinta de cero en todas partes) que tenga la propiedad de Markov puede representarse como una medida de Gibbs para una función de energía adecuada. Este es el teorema de Hammersley-Clifford.

Definición formal sobre retículos

A continuación se presenta una definición formal para el caso especial de un campo aleatorio en un retículo. Sin embargo, la idea de una medida de Gibbs es mucho más general que esto.

La definición de un «campo aleatorio de Gibbs» en un retículo requiere cierta terminología:

• El «retículo0'»: un conjunto contable $\mathbb {L}$.
• El «espacio de espín único»: un espacio probabilístico $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$.
• El Espacio de configuración: $(\Omega ,{\mathcal {F}})$, donde $\Omega =S^{\mathbb {L} }$ y ${\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }$.
• Dada una configuración ω ∈ Ω y un subconjunto $\Lambda \subset \mathbb {L}$, la restricción de ω a Λ es $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$. Si $\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset$ y $\Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L}$, entonces la configuración $\omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}$ es la configuración cuyas restricciones a Λ₁ y Λ₂ son $\omega _{\Lambda _{1}}$ y $\omega _{\Lambda _{2}}$, respectivamente.
• El conjunto ${\mathcal {L}}$ de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb {L}$.
• Para cada subconjunto $\Lambda \subset \mathbb {L}$, ${\mathcal {F}}_{\Lambda }$ es el σ-álgebra generado por la familia de funciones $(\sigma (t))_{t\in \Lambda }$, donde $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$. La unión de estas σ-álgebras a medida que $\Lambda$ varía sobre ${\mathcal {L}}$ es el álgebra de conjuntos cilíndricos en el retículo.
• El potencial: Una familia $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ de funciones Φ_A : Ω → R tal que
  1. Para cada $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ es ${\mathcal {F}}_{A}$ -medible, lo que significa que depende solo de la restricción $\omega _{A}$ (y lo hace de forma medible).
  2. Para todos los $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ y “'ω”' ∈ Ω, existe la siguiente serie:

$H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).$

Interpretamos Φ_“'A”' como la contribución a la energía total (el hamiltoniano) asociada a la interacción entre todos los puntos del conjunto finito A.

Entonces, $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ como la contribución a la energía total de todos los conjuntos finitos A que satisfacen $\Lambda$. Tenga en cuenta que la energía total suele ser infinita, pero cuando «localizamos» cada $\Lambda$, puede ser finita, esperamos.

• El hamiltoniano en $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ con condiciones de contorno ${\bar {\omega }}$, para el potencial Φ, se define por

$H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)$

donde $\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}$ denota la configuración que toma los valores de $\omega$ en $\Lambda$, y los de ${\bar {\omega }}$ en $\Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda$.

• La «función de partición» en $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ con «condiciones de contorno» ${\bar {\omega }}$ y temperatura inversa β > 0 (para el potencial Φ y λ) se define por

$Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),$

donde

$\lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),$

es la medida del producto

Un potencial Φ es λ-admisible si $Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})$ es finito para todos los $\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega$ y β > 0.

Una medida de probabilidad μ en $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ es una «medida de Gibbs» para un potencial Φ admisible para λ si satisface la «ecuación de Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR)»

$\int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),$

para todos los $A\in {\mathcal {F}}$ y $\Lambda \in {\mathcal {L}}$.

Un ejemplo

Para ayudar a comprender las definiciones anteriores, aquí están las cantidades correspondientes en el importante ejemplo del modelo de Ising con interacciones entre vecinos más cercanos (constante de acoplamiento J) y un campo magnético (h), en Z^d:

• La red es simplemente $\mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}$.
• El espacio de espín único es S = {−1, 1}.
• El potencial viene dado por

$\Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{si }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ con }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{si }}A=\{t\}\\0&{\text{en caso contrario}}\end{cases}}$

Véase también

• Distribución de Boltzmann
• Familia exponencial
• Algoritmo de Gibbs
• Muestreo de Gibbs
• Sistema de partículas interactivas
• Juego potencial
• Función SoftMax
• Autómatas celulares estocásticos

Bibliografía

• Georgii, H.-O. (2011) [​1988​]. Gibbs Measures and Phase Transitions (2nd edición). Berlin: de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9. 
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824. 
• Le Ny, A (2008). Introduction to (generalized) Gibbs measures, Ensaios Matemáticos, volume 15.
• Makhmudov, M (2025). Gibbs states in Statistical Mechanics and Dynamical Systems. PhD thesis.

• Datos: Q2510435