Grex (mathematica)

Grex (vel fortasse gruppus vel fortasse caterva)^[1] est structura algebraica abstracta: est classis cum operatione inter bina classi elementa invertibili et associativa. Unum gregis elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e · a = a. Grex clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa gregis, deinde a · b est elementum. Theoria gregum est pars mathematicae quae de gregibus tractat.

Grex Abelianus est grex cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa gregis, deinde a · b = b · a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "gregem" dedit his structuris corporis.

Definitio

Grex est copia $G$ cum operatione $(\cdot )$ inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

Clausitas

Pro omnia elementa $a,b$ in grege, $a\cdot b$ quoque in grege est.

Associativitas

Pro omnia elementa $a,b,c$ in grege, haec identitas est apta: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$

Elementum Idemfactor

Est elementum gregis, “idemfaciens” vocatur (et saepe $e$ scribitur), quod omnia alia elementa gregis sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta: $a\cdot e=e\cdot a=a.$

Elementum Inversum

Pro omnia elementa $a$ in grege, est alium elementum, $a^{-1}$ , cum ita sit $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.$

Grex numerorum

Numeri integri, cum additione, sunt grex Abelianus. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a (a + -a est enim idemfactor).

Grex matricum, vel grex linearis

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt grex Abelianus. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt grex sub operatione multiplicationis, sed haec non est grex Abelianus: A × B ≠ B × A.

Grex symmetrica

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, gregem faciunt. Operatio gregis est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a · b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius gregis est grex dihedralis. Haec sunt elementa:

idemfactor: omnia puncta manent	r₁: rotatio 90° ad dexteram partem	r₂: rotatio 180°	r₃: rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem
f_v: reflexio verticalis	f_h: reflexio horizontalis	f_d: reflexio in uno diagonale	f_c: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa gregis dihedralis.