close
Przejdź do zawartości

Diagram Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Artykuł ten został zgłoszony do umieszczenia na stronie głównej w rubryce „Czy wiesz”.
Pomóż nam go sprawdzić: oceń zgłoszoną nominację.
Diagram Eulera ilustrujący, że zbiór „zwierząt czworonożnych” jest podzbiorem „zwierząt”, natomiast zbiór „minerałów” jest rozłączny ze zbiorem „zwierząt” (nie ma z nim wspólnych elementów)

Diagram Eulera – sposób graficznego przedstawiania zbiorów i zależności między nimi za pomocą zamkniętych figur, które mogą się przecinać, zawierać nawzajem lub pozostawać rozłączne. Diagramy te są szczególnie przydatne do objaśniania złożonych hierarchii i nakładających się definicji. Są podobne do innej techniki obrazowania zbiorów, diagramów Venna[1]. W odróżnieniu od diagramów Venna, które pokazują wszystkie możliwe zależności między zbiorami, diagram Eulera przedstawia tylko zależności istotne dla danego zagadnienia[2].

Szwajcarski matematyk Leonhard Euler (1707–1783) spopularyzował ten typ diagramów, jest jednak jedynie ich patronem, a nie wynalazcą. Diagramy Eulera powstały najpierw na potrzeby logiki, zwłaszcza sylogistyki (teorii sylogizmów – schematów wnioskowania z dwóch przesłanek), a dopiero później przeniesiono je do teorii mnogości[3].

Budowa i działanie

[edytuj | edytuj kod]
Diagram Eulera przedstawiający zależności między różnymi obiektami Układu Słonecznego

Diagram Eulera składa się z prostych krzywych zamkniętych (czyli krzywych bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, z których każda odpowiada pewnemu zbiorowi lub kategorii. To, czy i w jaki sposób figury te zachodzą na siebie, obrazuje zależności między zbiorami. Każda krzywa dzieli płaszczyznę na dwa obszary, zwane „strefami”: wnętrze, które symbolicznie reprezentuje elementy zbioru, oraz zewnętrze, reprezentujące wszystkie elementy nienależące do zbioru[4].

Krzywe, które na siebie nie zachodzą, przedstawiają zbiory rozłączne, czyli niemające wspólnych elementów. Dwie zachodzące na siebie krzywe odpowiadają zbiorom, które się przecinają, to znaczy mają elementy wspólne. Obszar leżący wewnątrz obu krzywych reprezentuje zbiór elementów wspólnych dla obu zbiorów (ich część wspólną). Krzywa zawarta w całości we wnętrzu innej oznacza, że odpowiadający jej zbiór jest podzbiorem tego drugiego[4].

Podstawowe układy figur i odpowiadające im relacje między zbiorami
Układ figurRelacja zbiorów
figury rozłącznezbiory rozłączne
figury przecinające sięczęść wspólna (przecięcie)
jedna figura w całości wewnątrz drugiejpodzbiór

Diagramy Venna są bardziej restrykcyjną postacią diagramów Eulera. Diagram Venna musi zawierać wszystkie stref nakładania się jego n krzywych – po jednej dla każdej kombinacji przynależności i nieprzynależności do tworzących go zbiorów. W diagramach Venna puste strefy zaznacza się cieniowaniem, zwykle czernią. W diagramach Eulera pustkę zbioru może wyrażać już sam brak odpowiedniej strefy[5][3].

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Diagramy przypominające diagramy Eulera i pełniące podobne funkcje istniały zapewne od dawna[6]. Dokładne datowanie tych diagramów jest jednak możliwe dopiero dla czasów po wynalezieniu prasy drukarskiej.

Przed Eulerem

[edytuj | edytuj kod]

Pierwszymi autorami, którzy wydrukowali diagram w stylu Eulera i krótko go omówili w swoich tekstach, byli Juan Luis Vives (w 1531), Nicolaus Reimers (w 1589), Bartłomiej Keckermann (w 1601) oraz Johann Heinrich Alsted(inne języki) (w 1614)[7]. Pierwsze szczegółowe opracowanie tych diagramów przypisuje się Erhardowi Weiglowi(inne języki) (1625–1699), który nazywał ten rodzaj diagramu logometrum (przyrządem do mierzenia logiki)[8]. Weigel jako pierwszy dowiódł poprawności wszystkich prawidłowych sylogizmów za pomocą figur na płaszczyźnie. Dla sądów ogólnotwierdzących, czyli zdań typu „wszystkie A są B”, figura podmiotu powinna leżeć w całości wewnątrz figury orzecznika. Dla sądów przeczących, typu „żaden A nie jest B”, figury powinny być rozłączne. Dla sądów szczegółowych, typu „niektóre A są B”, figury powinny się częściowo przecinać. Aby dowieść sylogizmu, należy najpierw narysować wszystkie możliwe figury dla przesłanek, a następnie sprawdzić, czy da się z nich odczytać także wniosek[8].

Erhard Weigel posługiwał się w diagramach inicjałami, podczas gdy jego uczniowie, tacy jak Johann Christoph Sturm(inne języki) (1635–1703) oraz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), używali okręgów lub linii[8][9][10]. Inną tradycję wywodzi się od Christiana Weisego(inne języki) (1642–1708), który miał stosować te diagramy w swoim nauczaniu[8]. Donoszą o tym jego uczniowie Samuel Großer i Johann Christian Lange. Zwłaszcza Lange wyszedł z tymi diagramami poza sylogistykę i pracował na przykład z kwantyfikowanymi orzecznikami[11].

Euler i czasy po nim

[edytuj | edytuj kod]

W swoich Listach do księżniczki niemieckiej(inne języki) Euler skupił się wyłącznie na tradycyjnej sylogistyce[12]. Nie tylko sprawdzał on poprawność sylogizmów, lecz także opracował metodę wyciągania wniosków z przesłanek[13][14]. Równocześnie z Eulerem podobnymi diagramami posługiwali się Gottfried Ploucquet(inne języki) oraz Johann Heinrich Lambert[7][15]. Szerszą znajomość diagramy zyskały jednak dopiero w latach 90. XVIII wieku za sprawą Immanuela Kanta (1724–1804), który wykorzystywał je w wykładach z logiki, a jego uczniowie rozpowszechnili wiedzę o nich w całej Europie[16][17]. W XIX wieku diagramy Eulera stały się najpowszechniej stosowaną formą reprezentacji w logice, zwłaszcza wśród „kantystów”, takich jak Arthur Schopenhauer, Karl Christian Friedrich Krause czy William Hamilton[18][19].

Strona z Lectures on Logic Hamiltona; symbole A, E, I oraz O odnoszą się do czterech rodzajów sądów kategorycznych występujących w sylogizmie

Ponieważ historię tych diagramów zbadano w XIX wieku tylko częściowo, większość logików przypisywała je Eulerowi, co prowadziło do licznych nieporozumień, z których część utrzymuje się do dziś. William Hamilton błędnie twierdził, że pierwszym, który użył okręgów do „uzmysłowienia… abstrakcji logiki”, był nie Euler, lecz Weise[20]. W rzeczywistości jednak przypisywaną Weisemu książkę napisał Johann Christian Lange, a nie Weise[21.1][22].

W epoce Venna

[edytuj | edytuj kod]

John Venn (1834–1923) zwracał uwagę na uderzającą popularność diagramu Eulera. Stwierdził, że spośród pierwszych sześćdziesięciu traktatów logicznych, które przejrzał, aż trzydzieści cztery odwoływały się do pomocy diagramów, niemal wszystkie korzystając ze „schematu Eulerowskiego”[21.2]. Mimo to zarzucał temu schematowi „niezdatność do celów logiki naprawdę ogólnej” i zauważał, że „pasuje on, lecz źle, nawet do czterech sądów logiki potocznej, do których zwykle bywa stosowany”[21.2].

Venn doszedł do kluczowego zarzutu: w ilustracji Hamiltona sądy O (szczegółowo-przeczący) oraz I (szczegółowo-twierdzący) są jedynie wzajemnie obrócone, a ten sam diagram bywa używany do przedstawienia obu, „co czyni równie niedoskonale”[21.3]. Uzbrojony w te spostrzeżenia Venn pokazał, jak ze „staromodnych diagramów Eulera” wyprowadził to, co stało się znane jako diagramy Venna.

Diagram Veitcha i tablica Karnaugha pokazują wszystkie mintermy; widoczne jest silne podobieństwo między diagramem Venna a tablicą Karnaugha

Do 1914 roku Louis Couturat (1868–1914) opatrzył etykietami obszary diagramu, w tym obszar zewnętrzny[23]. Zwięźle wyjaśnił, jak posługiwać się diagramem: aby uzyskać wynik, należy „wykreślić (przez zacieniowanie)” te obszary, które mają zniknąć na mocy danych zadania[23]. We współczesnym ujęciu diagram Venna obejmuje „ramkę” otaczającą wszystkie okręgi, zwaną uniwersum lub dziedziną rozważań.

Couturat zauważył, że w sposób bezpośredni i algorytmiczny nie da się z takiego diagramu wyprowadzić uproszczonych równań algebry Boole’a ani odczytać wniosku. Stwierdził, że metoda ta „ma… poważne niedogodności jako sposób rozwiązywania zagadnień logicznych”, ponieważ pokazuje tylko jeden krok rozumowania – samo równanie zadania[23]. Sprawa pozostała w tym stanie aż do 1952 roku, gdy Maurice Karnaugh (1924–2022) zaadaptował i rozwinął metodę zaproponowaną przez Edwarda W. Veitcha(inne języki)[24][25]. Praca ta opierała się na metodzie tablic prawdy, ściśle zdefiniowanej przez Emila Posta, oraz na zastosowaniu rachunku zdań do logiki przełączającej – między innymi przez Claude’a Shannona, George’a Stibitza i Alana Turinga[26].

Współczesne zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

W Stanach Zjednoczonych diagramy Venna i Eulera weszły do nauczania teorii mnogości w ramach ruchu „nowej matematyki” lat 60. XX wieku, a później także do innych obszarów dydaktyki, na przykład nauki czytania ze zrozumieniem[27]. W latach 90. XX wieku diagramy Eulera rozwinięto jako system logiczny[5]. Badania nad reprezentacjami graficznymi wskazywały także na ich zalety poznawcze[28][29][30]. Diagramy zaczęto stosować nie tylko jako diagramy zbiorów. Wykorzystywano je także w informatyce (w tym w sztucznej inteligencji i inżynierii oprogramowania), naukach biologicznych, medycynie, ekonomii i statystyce[4]. Omawiano także ich filozofię i historię[31][32]. W 2000 roku zapoczątkowano serię konferencji The Theory and Application of Diagrams, regularnie poświęconą między innymi bieżącym badaniom nad diagramami Eulera[4].

Relacja między diagramami Eulera a Venna

[edytuj | edytuj kod]
Przykłady małych diagramów Venna (po lewej) i ich przekształcenia w równoważne diagramy Eulera (po prawej). Czarne obszary oznaczają zbiory puste, a obszary zaznaczone na czerwono z symbolem „×” – zbiory niepuste

Gdy liczba zbiorów przekracza trzy, diagram Venna staje się wizualnie skomplikowany, zwłaszcza w porównaniu z odpowiadającym mu diagramem Eulera[5]. Różnicę między nimi dobrze widać na przykładzie trzech zbiorów:

Na diagramie Eulera zbiory B i C są rozłączne, więc odpowiadające im krzywe się nie przecinają, natomiast diagram Venna i tak pokazuje wszystkie strefy nakładania, zaznaczając czernią te, które są puste. Często nakłada się dodatkowe warunki poprawności – ograniczenia topologiczne lub geometryczne dotyczące budowy diagramu (np. wymóg spójności stref albo zakaz stycznego przecinania się krzywych). Nie każdy diagram Venna z cieniowaniem da się przekształcić w diagram Eulera bez cieniowania. Dla dziewięciu zbiorów istnieją diagramy Eulera, których nie da się narysować prostymi krzywymi zamkniętymi bez powstania zbędnych stref[5].


Przykład: od diagramu Eulera do tablicy Karnaugha

[edytuj | edytuj kod]

Poprawność wniosku „żaden X nie jest Z” wyprowadzonego z przesłanek „żaden Y nie jest Z” i „każdy X jest Y” można sprawdzić tablicą prawdy. Przesłanki zapisuje się jako formułę rachunku zdań, łącząc ją z proponowanym wnioskiem za pomocą implikacji (P → Q, czytane „jeżeli P, to Q”). Jeśli w kolumnie pod implikacją w całej tablicy wystąpią same jedynki, formuła jest tautologią (zdaniem zawsze prawdziwym), a wniosek jest poprawny[26].

W zapisie symbolicznym przykładu stosuje się następujące oznaczenia[26]:

  • – wartość logiczna „prawda”, – „fałsz”;
  • apostrof lub – negacja (x′ czytamy „nie-x”);
  • – koniunkcja („i”), w zapisie mintermu pomijana przez pisanie zmiennych obok siebie (x′y′z znaczy „nie-x i nie-y i z”);
  • – implikacja („jeżeli… to…”).

Dla tego przykładu przesłanki dają formułę a proponowany wniosek to Badana jest implikacja P → Q[26]:

Tablica prawdy dowodząca, że formuła P → Q jest tautologią (same jedynki w kolumnie głównej implikacji)
nrstrefa Venna/KarnaughaxyzP = ¬(y∧z) ∧ (x→y)Q = ¬(x∧z)P → Q
0x′y′z′000111
1x′y′z001111
2x′yz′010111
3x′yz011011
4xy′z′100011
5xy′z101001
6xyz′110111
7xyz111001

Ponieważ formuła P → Q jest tautologią, w każdym wartościowaniu, w którym P jest prawdziwe, prawdziwe jest także Q. Na mocy reguły modus ponens (reguły odrywania) można więc „oderwać” wniosek Q: „żaden X nie jest Z”. Wiersze, w których P jest prawdziwe (0, 1, 2 i 6), odpowiadają mintermom które redukują się do – ten sam wynik daje sklejanie sąsiednich jedynek w tablicy Karnaugha[26].

Galeria

[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. ↑ Amirouche Moktefi, Jens Lemanski, On the Origin of Venn Diagrams, „Axiomathes”, 32 (3), 2022, s. 887–900, DOI: 10.1007/s10516-022-09642-2 (ang.).
  2. ↑ Amirouche Moktefi, Sun-Joo Shin, A History of Logic Diagrams, [w:] Dov M. Gabbay, Francis Jeffry Pelletier, John Woods (red.), Handbook of the History of Logic. Tom 11: Logic: A History of its Central Concepts, North-Holland, 2012, s. 611–682, DOI: 10.1016/B978-0-444-52937-4.50011-3, ISBN 978-0-444-52937-4 (ang.).
  3. 1 2 Zenon Kulpa, Koła Eulera i diagramy Venna, czyli jaka jest różnica między kanarkiem?, „Tytuł Roboczy”, 2006, s. 71–80 (pol.).
  4. 1 2 3 4 Peter Rodgers, A survey of Euler diagrams, „Journal of Visual Languages & Computing”, 25 (3), 2014, s. 134–155, DOI: 10.1016/j.jvlc.2013.08.006 (ang.).
  5. 1 2 3 4 Eric Hammer, Sun-Joo Shin, Euler’s visual logic, „History and Philosophy of Logic”, 19 (1), 1998, s. 1–29, DOI: 10.1080/01445349808837293 (ang.).
  6. ↑ Jens Lemanski, World and Logic, Londyn: College Publications, 2021, s. 182–196, ISBN 978-1-84890-384-5 (ang.).
  7. 1 2 Jens Lemanski, Periods in the Use of Euler-Type Diagrams, „Acta Baltica Historiae et Philosophiae Scientiarum”, 5 (1), 2017, s. 50–69, DOI: 10.11590/abhps.2017.1.03 (ang.).
  8. 1 2 3 4 Jens Lemanski, Logic Diagrams in the Weigel and Weise Circles, „History and Philosophy of Logic”, 39 (1), 2018, s. 3–28, DOI: 10.1080/01445340.2017.1341074 (ang.).
  9. ↑ Wolfgang Lenzen, Leibniz: Logic [online], Internet Encyclopedia of Philosophy [dostęp 2026-06-28] [zarchiwizowane z adresu 2026-06-27] (ang.).
  10. ↑ José Martín Castro-Manzano, Re(dis)covering Leibniz’s Diagrammatic Logic, „Tópicos” (52), 2017, s. 89–116, DOI: 10.21555/top.v0i52.760 (ang.).
  11. ↑ Jens Lemanski, Euler-type Diagrams and the Quantification of the Predicate, „Journal of Philosophical Logic”, 49 (2), 2020, s. 401–416, DOI: 10.1007/s10992-019-09522-y (ang.).
  12. ↑ Amirouche Moktefi, Is Euler’s Circle a Symbol or an Icon?, „Sign Systems Studies”, 43 (4), 2015, s. 597–615, DOI: 10.12697/SSS.2015.43.4.14 (ang.).
  13. ↑ Peter Bernhard, Euler-Diagramme: Zur Morphologie einer Repräsentationsform in der Logik, Paderborn: Mentis, 2001 (niem.).
  14. ↑ Ed Sandifer, How Euler Did It: Venn Diagrams [online], Mathematical Association of America, 2004 [dostęp 2026-06-28] [zarchiwizowane z adresu 2013-01-26] (ang.).
  15. ↑ Francesco Bellucci, Amirouche Moktefi, Ahti-Veikko Pietarinen, Diagrammatic Autarchy: Linear Diagrams in the 17th and 18th Century, „CEUR Workshop Proceedings”, 1132, 2013, s. 31–35 [dostęp 2026-06-28] [zarchiwizowane z adresu 2025-11-18] (ang.).
  16. ↑ Huaping Lu-Adler, From Logical Calculus to Logical Formality – What Kant Did with Euler’s Circles, [w:] Corey Dyck, Falk Wunderlich (red.), Kant and his German Contemporaries, Cambridge University Press, 2017, s. 35–55 (ang.).
  17. ↑ Jens Lemanski, Kant’s Crucial Contribution to Euler Diagrams, „Journal for General Philosophy of Science”, 55 (1), 2024, s. 59–78, DOI: 10.1007/s10838-023-09653-6 (ang.).
  18. ↑ Amirouche Moktefi, Schopenhauer’s Eulerian Diagrams, [w:] Jens Lemanski (red.), Language, Logic, and Mathematics in Schopenhauer, Cham: Springer, 2020, s. 111–127, DOI: 10.1007/978-3-030-33090-3_8, ISBN 978-3-030-33090-3 (ang.).
  19. ↑ Christian Kittsteiner, Schopenhauer’s Sorites Diagram, „Lecture Notes in Computer Science”, 14981, 2024, s. 145–152, DOI: 10.1007/978-3-031-71291-3_12 (ang.).
  20. ↑ William Hamilton, Lectures on Metaphysics and Logic, Henry Longueville Mansel, John Veitch (red.), Edynburg–Londyn: William Blackwood and Sons, 1860, s. 180 (ang.).
  21. John Venn, Symbolic Logic, Londyn: MacMillan and Co., 1881 [dostęp 2026-06-28] (ang.).
    1. ↑ s. 509
    2. 1 2 rozdz. V, s. 100–101
    3. ↑ rozdz. XX, s. 424
  22. ↑ Gailand Mac Queen, The Logic Diagram, McMaster University, 1967, s. 5 [dostęp 2026-06-28] [zarchiwizowane z adresu 2017-04-14] (ang.).
  23. 1 2 3 Louis Couturat, The Algebra of Logic, Chicago–Londyn: The Open Court Publishing Company, 1914, s. 73–75 (ang.).
  24. ↑ A chart method for simplifying truth functions, [w:] Edward W. Veitch, Proceedings of the 1952 ACM National Meeting (Pittsburgh), Nowy Jork: Association for Computing Machinery, 1952, s. 127–133, DOI: 10.1145/609784.609801 (ang.).
  25. ↑ Maurice Karnaugh, The Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits, „Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part I”, 72 (5), 1953, s. 593–599, DOI: 10.1109/TCE.1953.6371932 (ang.).
  26. 1 2 3 4 5 Frederick J. Hill, Gerald R. Peterson, Introduction to Switching Theory and Logical Design, Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1968, ISBN 978-0-471-39882-0 (ang.).
  27. ↑ Strategies for Reading Comprehension: Venn Diagrams [online], ReadingQuest [dostęp 2026-06-28] [zarchiwizowane z adresu 2009-04-29] (ang.).
  28. ↑ Atsushi Shimojima, On the Efficacy of Representation, Bloomington: Indiana University, 1996 (ang.).
  29. ↑ Peter C.-H. Cheng, Graphical notations for syllogisms: How alternative representations impact the accessibility of concepts, „Journal of Visual Languages & Computing”, 25 (3), 2014, s. 170–185, DOI: 10.1016/j.jvlc.2013.08.008 (ang.).
  30. ↑ Michał Sochański, Wizualizacje w matematyce wobec tradycji epistemologicznej, Poznań: Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, 2011, s. 342 [dostęp 2026-06-28] (pol.).
  31. ↑ Mark Greaves, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford: Center for the Study of Language and Information, 2002 (ang.).
  32. ↑ Sun-Joo Shin, Oliver Lemon, John Mumma, Diagrams and Diagrammatical Reasoning [online], Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2025 [dostęp 2026-06-28] (ang.).

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagram_Eulera&oldid=80147436”