Indice adiabatique

En thermodynamique, l'indice adiabatique, aussi appelé coefficient adiabatique, exposant adiabatique, coefficient de Laplace, ou constante de Laplace, noté $\gamma$, est défini comme le rapport des capacités thermiques à pression constante (isobare) $C_{P}$ et à volume constant (isochore) $C_{V}$ d'un gaz (corps pur ou mélange) :

$\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}$

Il se définit également à partir des capacités thermiques molaires ${\bar {C}}_{P}$ et ${\bar {C}}_{V}$ si la transformation concerne une quantité $n$ de gaz, ou des capacités thermiques massiques (ou spécifiques) $c_{P}$ et $c_{V}$ si la transformation concerne une masse $m$ de gaz :

$C_{P}=n\,{\bar {C}}_{P}=m\,c_{P}$

$C_{V}=n\,{\bar {C}}_{V}=m\,c_{V}$

$\gamma ={{\bar {C}}_{P} \over {\bar {C}}_{V}}={c_{P} \over c_{V}}$

Le coefficient de Laplace porte le nom du physicien et mathématicien français Pierre-Simon de Laplace. Cette grandeur sans dimension apparaît notamment dans la loi de Laplace : pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, $PV^{\gamma }={\text{constante}}$, en supposant que $\gamma$ ne dépend pas de la température.

Valeurs

Gaz parfaits

Pour un gaz parfait monoatomique (type gaz noble : argon, hélium, etc.), quelle que soit la température, les capacités thermiques valent exactement :

$C_{P}=n{5 \over 2}R$

$C_{V}=n{3 \over 2}R$

avec $n$ la quantité de matière et $R$ la constante universelle des gaz parfaits. Le coefficient de Laplace vaut donc exactement :

Pour un gaz parfait monoatomique : $\gamma$ = 5/3 ≈ 1,67 quelle que soit la température.

Contrairement au cas des gaz monoatomiques, les capacités thermiques des gaz diatomiques, et donc le coefficient de Laplace, dépendent de la température. Pour un gaz parfait diatomique (type dioxygène, diazote, air sec, etc.) dans des conditions de température proches de 20 °C :

$C_{P}=n{7 \over 2}R$

$C_{V}=n{5 \over 2}R$

le coefficient de Laplace vaut :

Pour un gaz parfait diatomique : $\gamma$ = 7/5 = 1,4 pour des températures proches de 20 °C.

Pour un gaz parfait, la relation de Mayer donne $C_{P}-C_{V}=nR$. Connaissant $\gamma$, on a donc :

$C_{P}=n{\gamma \over \gamma -1}R$

$C_{V}=n{1 \over \gamma -1}R$

Gaz réels

Indice adiabatique pour différents gaz.
Gaz	Température °C	$\gamma$		Gaz	Température °C	$\gamma$		Gaz	Température °C	$\gamma$
H2	−181	1,597		Air sec	200	1,398		NO	20	1,400
	−76	1,453			400	1,393		N2O	20	1,310
	20	1,410			1000	1,365		N2	−181	1,470
	100	1,404			2000	1,088			15	1,404
	400	1,387		CO2	0	1,310		Cl2	20	1,340
	1000	1,358			20	1,300		CH4	−115	1,410
	2000	1,318			100	1,281			−74	1,350
He	20	1,660			400	1,235			20	1,320
H2O	20	1,330			1000	1,195		NH3	15	1,310
	100	1,324		CO	20	1,400		Ne	19	1,640
	200	1,310		O2	−181	1,450		Xe	19	1,660
Ar	−180	1,760			−76	1,415		Kr	19	1,680
	20	1,670			20	1,400		SO2	15	1,290
Air sec	0	1,403			100	1,399		Hg	360	1,670
	20	1,400			200	1,397		C2H6	15	1,220
	100	1,401			400	1,394		C3H8	16	1,130

Détermination

Le coefficient de Laplace peut être déterminé par l'expérience de Clément-Desormes, l'expérience de Rüchardt ou la vitesse du son dans un fluide.

Dans le cas général, la vitesse du son $c$ dans un fluide vaut :

$c={\sqrt {1 \over \rho \chi _{S}}}={\sqrt {{\bar {V}} \over M\chi _{S}}}$

Pour un gaz parfait, on a $\chi _{S}={1 \over \gamma P}$ et $P{\bar {V}}=RT$, d'où :

$\gamma ={Mc^{2} \over {\bar {V}}P}={Mc^{2} \over RT}$

avec :

• $c$ la vitesse du son ;
• $M$ la masse molaire ;
• $P$ la pression ;
• $R$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• $T$ la température ;
• ${\bar {V}}$ le volume molaire ;
• $\rho$ la masse volumique, $\rho =M/{\bar {V}}$ ;
• $\chi _{S}$ la compressibilité isentropique.

La relation de Reech permet également de déterminer ce coefficient à partir des pentes des courbes isothermes et isentropes tracées dans un diagramme de Clapeyron.

Articles connexes

• Capacité thermique
  • Capacité thermique isobare
  • Capacité thermique isochore
• Détermination expérimentale de $\gamma$
  • Expérience de Clément-Desormes
  • Expérience de Rüchardt
• Loi de Laplace (thermodynamique)
• Processus adiabatique
• Relation de Reech