Repeterende breuk

Een repeterende breuk, ook repeterende decimale breuk of periodieke (decimale) breuk, is een breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is. De naam slaat op het feit dat in de fractie, het deel achter de komma, een zichzelf steeds herhalende rij van 1 of meer cijfers voorkomt. Deze rij cijfers heet het repeterende of periodieke gedeelte.

Dat elke breuk eindig of repeterend is, valt te beredeneren uit het feit dat er bij een staartdeling maar een eindig aantal mogelijkheden is voor de rest: 0 tot en met de noemer min 1. Als de rest op enig moment 0 wordt, is de breuk een eindige breuk. Als de rest nooit 0 wordt, ontstaat na maximaal de noemer min 1 cijfers een rest die al eerder voorgekomen is. Daarna gaat het patroon zichzelf herhalen. De lengte van het repeterende gedeelte is dus maximaal de noemer min 1.

De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie over getallen met een repeterende breuk.

Schrijfwijze

De repeterende breuk wordt in de normale schrijfwijze afgerond, wat wil zeggen dat alleen een bepaald aantal cijfers wordt genoteerd. Zo wordt 2/3 afgerond op:

• 2 decimalen als 0,67
• 5 decimalen als 0,66667

Een andere schrijfwijze is die waarbij men laat zien wat het repeterende gedeelte is. Dit doet men door een streep te zetten door het eerste cijfer van het repeterende gedeelte en door het laatste.

$1/3=0{,}3\!\!\!/$

$11/35=0{,}31\!\!\!/42857\!\!\!/$

Het repeterende deel wordt ook met een streep geschreven, de vinculum, van het Latijn: vincio, binden of boeien, boven of onder de cijfers:

$1/3=0{,}{\overline {3}}$

$11/35=0{,}3{\overline {142857}}$

$11/35=0{,}3{\underline {142857}}$

of tussen haken, rechte of ronde, gezet:

$1/3=0{,}[3]$

$11/35=0{,}3[142857]$

Ander voorbeelden zijn:

$2/3=0{,}{\overline {6}}=0{,}666666\ldots$

$1/7=0{,}{\overline {142857}}=0{,}14285714285714\ldots$

$7/30=0{,}2{\overline {3}}=0{,}2333333\ldots$

Voorbeeld met repeterende negens

$0{,}9\!\!\!/$ kan ook worden geschreven als $0{,}999\ldots \$

$0{,}9\!\!\!/=0{,}999\ldots \ =1$

Het bewijs gaat volgt:

Zij $x=0,999...$, dan is:

$10x=9,999...$

Hieruit volgt:

$9x=10x-x=9,999...-0,999...=9$,

dus

$x=1$

De repeterende breuk kan ook als een meetkundige reeks worden opgevat, dat wil zeggen als de som van een meetkundige rij.

$0{,}999...=\sum _{n=1}^{\infty }9\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}$

Met de somformule voor de meetkundige rij volgt:

$0{,}999...=\sum _{n=1}^{\infty }9\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}={\frac {9}{10}}\ {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1$

Andere voorbeelden:

$0{,}239\!\!\!/=0{,}24$

$0{,}1459\!\!\!/=0{,}146$

Als breuk

Een repeterende breuk kan op de volgende manier als een gewone breuk met een teller, breukstreep en noemer worden geschreven.

Stel

$x=0{,}123\!\!\!/$,

dan is

$10x=1{,}23\!\!\!/=1{,}233\!\!\!/$

dus

$10x-x=1{,}233\!\!\!/-0{,}123\!\!\!/=1{,}11$

De repeterende gedeelten vallen tegen elkaar weg, zodat:

$9x=1{,}11$

$900x=111$

$x=111/900=37/300$

Bestaat het repeterende deel uit meer dan 1, zeg 6 cijfers, dan trekt men $x$ af van $1\,000\,000\,x$, zodat het repeterende deel wegvalt. Het bovenstaande kan ook als volgt worden geïnterpreteerd:

Bestaat de repeterende breuk alleen uit een repeterend deel, dan krijgt men de breuk als het repeterend deel $R$ gedeeld door evenveel negens als er cijfers in het repeterend deel zijn.

vb: 0,123123123... wordt 123/999, het repeterende deel is 123 met drie cijfers, dus delen door 999

vb: 0,2222... wordt 2/9

vb: 0,100310031003... wordt 1003/9999

Is er ook nog een vast deel, dan moet er wat omgerekend worden.

vb: 0,3721903903...

Hiervoor schrijft men:

$0{,}3721903903\ldots =0{,}3721+0{,}0000903903\ldots =$

$=0{,}3721+{\frac {0{,}903903\ldots }{10000}}={\frac {3721+0{,}903903\ldots }{10000}}={\frac {3721}{10000}}+{\frac {903}{9990000}}$

wat kan worden vereenvoudigd tot 619697/1665000.

Als limiet

Een repeterende breuk kan wiskundig opgevat worden als een reeks, dus als limiet van partiële sommen. Zo kan de breuk 2/3 worden geschreven als:

${\frac {2}{3}}=0{,}6\!\!\!/=0{,}6+0{,}06+0{,}006+\ldots =6\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}10^{-k}=6\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k}$

en de breuk 1/7 als:

${\frac {1}{7}}=0{,}{\overline {142857}}=0{,}142857+0{,}000000142857+0{,}000000000000142857+\ldots =142857\sum _{k=1}^{\infty }10^{-6k}$

De optredende reeksen zijn meetkundige reeksen.

Lengte van het repeterende deel

Het aantal cijfers in het repeterende gedeelte hangt alleen van de noemer af van de breuk. Stel dat de noemer $q$ is en dat de grootste gemene deler $\mathrm {ggd} (q,10)=1$, dan wordt de lengte van het repeterende deel gegeven door de kleinste exponent $x$ waarvoor $10^{x}{\pmod {q}}=1$.

Voorbeeld voor noemer 693:

• 10³ mod 693 = 307
• 10⁴ mod 693 = 298
• 10⁵ mod 693 = 208
• 10⁶ mod 693 = 1

Repeterende breuken met 693 als noemer hebben dus een repeterend deel van zes cijfers, bijvoorbeeld:

$311/693=0{,}{\overline {448773}}$

Uit het voorgaande volgen onder meer de volgende lengtes van het repeterende deel:

• 1 bij de noemers 3, 9
• 2 bij de noemer 11
• 3 bij de noemers 27, 37
• 4 bij de noemer 101
• 5 bij de noemers 41, 271
• 6 bij de noemers 7, 13

Omdat 693 = 7 × 9 × 11 en deze priemfactoren of machten daarvan onderling ondeelbaar zijn, is de lengte van het repeterende deel bij de noemer 693 het kleinste gemene veelvoud van 1, 2 en 6, is 6, zoals hierboven al was gevonden.

Websites

• Hoe kan ik een breuk krijgen?.
• Ontwikkeling van 0,999.... gearchiveerd
• Scientific American. Mathematicians can’t agree on whether 0.999... equals 1, 24 maart 2026.