Rett vinkel

En rett vinkel er 90°.

En rett vinkel er i geometri en vinkel på 90°. Vinkelbeina i en rett vinkel står vinkelrett på hverandre, også kalt loddrett, perpendikulært og normalt.

En vinkel som ikke er rett, kalles skjev. Konstruksjon av rette vinkler er grunnleggende i plangeometri.

Definisjon

Like nabovinkler.

Formelt kan en rett vinkel defineres som halvparten av like vinkel, det vil si en vinkel dannet av en rett linje. Alternativt kan en si at en rett vinkel er en fjerdedel av en full vinkel. Et tredje alternativ er å si at når to rette linjer skjærer hverandre og alle de fire nabovinklene er like store, så er vinklene rette.

Komplementvinkler

To linjer som danner en rett vinkel sies å stå vinkelrett, loddrett, perpendikulært eller normalt på hverandre. Man kan også si at linjene står ortogonalt på hverandre.

En vinkel som ikke er rett, er en skjev vinkel. En skjev vinkel mindre enn en rett vinkel, kalles spiss. En stump vinkel er større enn 90°. Når summen av to vinkler er en rett vinkel, sies hver an vinklene å være en komplementvinkel til den andre.

Notasjon

En rett vinkel ABC kan skrives som ∟ABC, der punktet B er hjørnet i vinkelen. Når en linje $l$ står vinkelrett på en linje $k$, kan dette skrives som $l\perp k$.

I figurer markeres en rett vinkel ved å tegne et lite kvadrat i hjørnet, som vist i den øverste figuren.

Måleenheter

Målt i grader er en rett vinkel 90°. SI-systemet måler vinkler i i radianer, og en rett vinkel er lik π/2. I gon er en rett vinkel 100 gon.

Som mål for en vinkel kan en rett vinkel skrives som 1 R. En like vinkel er altså 2 R.

Euklids Elementer

Definisjonen av en rett vinkel er grunnleggende i Euklids Elementer. I Definisjon 10 heter det (fritt oversatt fra engelsk):

«Og når en rett linje skjærer en annen rett linje og danner to identiske nabovinkler, så er begge de to vinklene rette vinkler. De to rette linjene sies å stå perpendikulært på hverandre.»

Euklids Elementer

Videre defineres en spiss og en stump vinkel i henholdsvis Definisjon 11 og Definisjon 12.

Aksiom 4 i Elementer sier at alle rette vinkler er like store. Dermed kan en rett vinkel brukes som måleenhet, slik det er brukt i det femte parallellaksiomet. Aksiom 4 blir noen ganger presentert som et teorem, men i en slik fremstilling må en ha et annet grunnlag for parallellpostulatet.

Tegning og måling

En rett vinkel kan tegnes med en vinkelhake eller med en vinkelhake (transportør).

I eldre tiders landmåling kunne en ha flere typer instrumenter til bruk under oppmåling for å danne rette vinkler, inkluder landmålerkors, vinkelspeil og vinkeltrommel.

Konstruksjon

Konstruksjon av rett vinkel fra et punkt P på en rett linje

Med passer og linjal kan en rett vinkel i et gitt punkt P på en gitt linje konstrueres slik:

• Plasser passerspissen i punktet P. Marker begge de to skjæringspunktene mellom en vilkårlig sirkelbue og den rette linjen. La disse skjæringspunktene være A og B.
• Plasser passerspissen i A. Slå en sirkelbue med radius vilkårlig, men større enn halve avstanden mellom A og B.
• Plasser passerspissen i B og slå en sirkelbue med samme radius som i forrige steg. De to sirkelbuene vil skjære hverandre i et punkt C.
• Trekk en rett linje gjennom P og skjæringspunktet C

Konstruksjon av rett vinkel fra et punkt Q utenfor en rett linje

For å konstruere en normal fra et gitt punkt Q ned på en linje:

• Plasser passerspissen i Q og slå en sirkelbue som skjærer den rette linjen i to punkt A og B.
• Plasser passerspissen i A. Slå en sirkelbue med radius vilkårlig, men større enn halve avstanden mellom A og B.
• Plasser passerspissen i B og slå en sirkelbue med samme radius som i forrige steg. De to sirkelbuene vil skjære hverandre i et punkt C.
• Trekk linjen gjennom Q og C slik at den skjærer den rette linjen.

Geometriske figurer

Rettvinklet trekant

En trekant hvor en vinkel er rett, er en rettvinklet trekant. For en rettvinklet trekant er summen av de to vinklene som ikke er rette, lik en rett vinkel. Dette resultatet er ekvivalent med parallellaksiomet i euklidsk geometri og gjelder ikke i ikke-euklidsk geometri.

Pytagoras’ læresetning kan brukes til å avgjøre om en trekant har en rett vinkel. Alle trekanter der sidelengdene danner pytagoreiske tripler er rettvinklete. For å lage en rett vinkel brukte egyptiske landmålere en tau-ring med tolv ekvidistante knuter. Tau-ringen kunne brukes til å danne en rettvinklet trekant med sidelengder 3, 4 og 5, et pytagoreisk trippel. Demokrit kalte landmålerne «tau-strekkere». Det er usikkert hvor god kjennskap oldtidens egyptiske matematikk hadde til Pytagoras’ læresetning.

Firkanter

Et rektangel er en firkant der alle vinklene er rette. To og to sider er like lange. I et kvadrat er alle vinklene rette og alle fire sidene like lange.

En rombe er en firkant der vinklene generelt ikke er rette, men der alle fire sidene er like lange. Et parallellogram er en rombe hvis og bare hvis de to diagonalene står vinkelrett på hverandre.

Geometrisk sted

Tales teorem sier at vinkelen i B er en rett vinkel.

Det geometriske stedet for toppunktet i en rett vinkel med bein gjennom to punkt på en rett linje, ligger på en sirkelbue som har sentrum på den rette linjen og som går gjennom de to punktene. Dette følger av Tales’ teorem.

Generalisering: ortogonalitet

I plangeometri og romgeometri er vinkelen mellom to vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ rett dersom prikkproduktet mellom vektorene er lik null:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =0.$

I et generelt indreproduktrom generaliseres dette til at to vektorer er ortogonale når indreproduktet mellom de to er lik null.