Kreisbogen

Kreisbogen mit Randpunkten $A,B$ und Mittelpunktswinkel $\alpha$

Ein Kreisbogen ist in der Geometrie ein zusammenhängendes Teilstück eines Kreises (also der Kreislinie). Jeder Kreisbogen wird durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt. Die beiden Verbindungsstrecken von diesen Randpunkten zum Kreismittelpunkt (die Radien) schließen den zugehörigen Mittelpunktswinkel ein, mit dessen Hilfe sich die Länge des Kreisbogens (Bogenlänge) berechnen lässt. Umgekehrt kann man die Größe des Mittelpunktswinkels mithilfe der Länge des gegenüberliegenden Bogens definieren (siehe Bogenmaß).

Bezeichnungen und Eigenschaften

Die Punkte $A,B$ zerlegen den Kreis in zwei Kreisbögen; der größere Kreisbogen $ACB$ enthält den Punkt $C$.

Zwei Punkte $A$ und $B$ auf einem Kreis zerlegen diesen in zwei Kreisbögen, die auch als komplementäre Kreisbögen bezeichnet werden. Im Allgemeinen ist einer der Kreisbögen kleiner und der andere größer; gleich groß sind sie nur dann, wenn die beiden Punkte einander direkt gegenüberliegen.

Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welcher der beiden Kreisbögen betrachtet wird, genügt es, den Kreisbogen mithilfe der Randpunkte als $AB$ oder ${\widehat {AB}}$ zu bezeichnen. Ansonsten wird zum Beispiel ein dritter Punkt auf dem Bogen gewählt, wodurch der Bogen eindeutig bestimmt ist. In diesem Fall wird der Bogen mithilfe aller drei Punkte bezeichnet, also etwa als $ACB$ oder ${\widehat {ACB}}$. Alternativ lässt sich der Bogen eindeutig angeben, wenn ein Drehsinn auf dem Kreis festgelegt ist: Dann bezeichnet etwa $AB$ denjenigen Bogen, auf dem der Punkt $A$ bei Linksdrehung in den Punkt $B$ übergeht und entsprechend $BA$ den komplementären Bogen.

Der Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel des Kreisbogens ist derjenige Winkel, den die beiden Radien zu den Randpunkten des Bogens am Mittelpunkt des zugehörigen Kreises einschließen.

Bogenlänge

Zwischen der Länge eines Kreisbogens, kurz Bogenlänge, und dem Mittelpunktswinkel besteht Proportionalität. Dies erlaubt es, die Länge $b$ mithilfe des Mittelpunktswinkels $\alpha$ zu berechnen, wenn dieser im Gradmaß gegeben ist: Für den vollen Kreis ist der Mittelpunktswinkel $360^{\circ }$und die Länge gleich dem Kreisumfang $U=2\pi r,$ woraus sich die Proportion $b:\alpha =2\pi r:360^{\circ }$ ergibt. Hieraus erhält man

$b=2\pi r\cdot {\frac {\alpha }{\displaystyle 360^{\circ }}}=\pi r\cdot {\frac {\alpha }{\displaystyle 180^{\circ }}}.$

Hierbei wurde die Bogenlänge aus dem Winkel im Gradmaß ermittelt. Umgekehrt lässt sich die Größe des Winkels – aufgrund der Proportionalität von Bogenlänge und Kreisradius – mithilfe der Bogenlänge definieren als $\alpha =b:r$ (Bogenmaß). Ist der Winkel im Bogenmaß gegeben, so ergibt sich daraus direkt für die Bogenlänge:

$b=r\cdot \alpha .$

Siehe auch

• Kreissegment ist ein Teil eines Kreisfläche, der von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.
• Kreissektor ist ein Teil einer Kreisfläche, der die von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt wird.

Weblinks

Commons: Circle arcs – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kreisbogen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Arc. In: MathWorld (englisch).
• Online-Berechnung von Kreisbögen