Octaedro

En geometría, un octaedro es cualquier poliedro que cuenta con ocho caras. Un caso especial es el octaedro regular, un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros, que se unen de cuatro en cuatro en cada uno de sus seis vértices. También existen muchos tipos de octaedros irregulares, incluyendo formas convexas y no convexas.

Octaedro regular

Artículo principal: Octaedro regular

El octaedro regular tiene ocho caras con forma de triángulos equiláteros, seis vértices en los que se encuentran cuatro lados y doce aristas. Su poliedro conjugado es un cubo.^[1] Puede formarse como la envolvente convexa de los seis vectores unitarios paralelos a los ejes en el espacio euclídeo tridimensional. Es uno de los cinco sólidos platónicos,^[2] y el caso tridimensional de una familia infinita de politopos regulares, los politopos de cruce.^[3] Aunque no cubre el espacio por sí mismo, puede cubrir el espacio junto con el tetraedro regular para formar el panal tetraédrico-octaédrico.^[4]

Equivalente combinatorio al octaedro regular

Octaedro de Bricard con un antiparalelogramo en su ecuador. El eje de simetría pasa por el plano del antiparalelogramo.

Los siguientes poliedros son equivalentes combinatoriamente al octaedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que se corresponden uno a uno con sus características:

Antiprismas triangulares: dos caras son equiláteras, se encuentran en planos paralelos y comparten un eje de simetría. Los otros seis triángulos son isósceles. El octaedro regular es un caso especial, en el que los seis triángulos laterales también son equiláteros.^[5]
Bipirámides tetragonales, en las que al menos uno de los cuadriláteros ecuatoriales se encuentra en un plano. El octaedro regular es un caso especial, en el que los tres cuadriláteros son cuadrados planos.^[6]
Poliedro de Schönhardt, un poliedro no convexo que no puede dividirse en tetraedros sin introducir nuevos vértices.^[7]
Octaedro de Bricard, un poliedro no convexo que se autointerseca y es flexible.^[8]^[9]

Otros poliedros convexos

El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro. Los octaedros irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas.^[10] Existen 257 octaedros convexos topológicamente distintos, excluyendo las imágenes especulares. Más específicamente, hay 2, 11, 42, 74, 76, 38 y 14 octaedros con de 6 a 12 vértices, respectivamente.^[11]^[12] Dos poliedros son topológicamente distintos si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de tal manera que es imposible transformar uno en el otro simplemente cambiando la longitud de las aristas o los ángulos entre aristas o caras.

Entre los poliedros convexos de ocho lados más destacados se encuentran:

Prisma hexagonal: dos caras son hexágonos regulares paralelos; seis cuadrados unen pares correspondientes de aristas de los hexágonos. Con todas las caras regulares y todos los vértices simétricos entre sí, se trata de un poliedro uniforme.^[13] Cubre el espacio mediante traslación como un paraleloedro.^[14] El tronco hexágonal es topológicamente equivalente.
Tetraedro truncado: las cuatro caras del tetraedro se truncan para convertirse en hexágonos regulares, y hay cuatro caras triangulares equiláteras adicionales donde se truncó cada vértice del tetraedro. Como poliedro uniforme que no es un prisma ni un antiprisma, se trata de un sólido arquimediano.^[15]^[16]
Girobifastigium: dos prismas triangulares uniformes pegados sobre uno de sus lados cuadrados de manera que ningún triángulo comparte una arista con otro. Como poliedro cuyas caras son polígonos regulares, es un sólido de Johnson.^[16] Es un poliedro que rellena el espacio.^[17] Su poliedro conjugado también es un octaedro.^[18]
Prisma triangular aumentado: resultado de pegar un prisma triangular a una pirámide cuadrada, este tiene seis caras triangulares equiláteras y dos caras cuadradas. También es un sólido de Johnson.^[16]
Cúpula triangular: otro sólido de Johnson, este tiene una cara hexagonal regular, tres caras cuadradas y cuatro caras triangulares equiláteras.^[16]
Icosaedro tridisminuido: otro sólido de Johnson, obtenido al eliminar tres pirámides pentagonales de un icosaedro regular, con tres caras pentagonales y cinco triangulares.^[19]
Pirámide heptagonal: una cara es un heptágono (generalmente regular), y las siete restantes son triángulos (generalmente isósceles).^[20] No es posible que todas las caras triangulares sean equiláteras. Es un poliedro conjugado.
Trapezoedro tetragonal: las ocho caras son deltoides congruentes.^[21] Salvo equivalencia topológica, es el único octaedro cuyas caras son todas cuadriláteros.^[22]
Bitronco triangular: dual de una bipirámide triangular elongada (un sólido de Johnson), se puede realizar con seis caras con forma de trapecio isósceles y dos caras triangulares equiláteras.
Trapezoedro triangular truncado, también llamado sólido de Durero: obtenido al truncar dos vértices opuestos de un cubo o romboedro, tiene seis caras pentagonales y dos triangulares.^[23]
Girobifastigio elongado, con cuatro caras pentagonales y cuatro rectangulares.^[24] Al igual que el girobifastigio, es un poliedro que llena el espacio.^[25]