Banach-rom

Et Banach-rom, også skrevet banachrom, er i matematikk et komplett normert vektorrom. At rommet er komplett vil si at alle Cauchy-følger konvergerer mot en grense som er inneholdt i rommet.

Banach-rom er blant de viktigste studieobjektene i funksjonalanalyse.

Eksempler og egenskaper

De endeligdimensjonale vektorrommene $\mathbb {R} ^{n}$ og $\mathbb {C} ^{n}$er alle Banach-rom. Mer generelt er alle Hilbert-rom også Banach-rom under normen indusert av det aktuelle indreproduktet. Et eksempel på et Banach-rom som ikke er et Hilbert-rom er

$\ell ^{1}(\mathbb {N} )=\left\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|<\infty \right\}.$

Et normert rom er et Banach-rom hvis og bare hvis alle absolutt konvergente rekker konvergerer. Man kan også vite at et Banach-rom $(X,\lVert \cdot \rVert )$ er et Hilbert-rom hvis og bare hvis det tilfredsstiller parallellogramloven, som vil si at

$2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}=\lVert x-y\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}\quad {\text{for alle }}x,y\in X.$

Referanser

Denne artikkelen er en spire. Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den.