Rasjonalt tall

Mengden av rasjonale tall $\mathbb {Q}$ er inkludert i mengden av reelle tall $\mathbb {R}$, som igjen er inneholdt i mengden av komplekse tall $\mathbb {C}$. De rasjonale tallene inneholder heltallene $\mathbb {Z}$, som igjen inneholder de naturlige tallene $\mathbb {N}$.

Et rasjonalt tall er i matematikk et tall som kan representeres av en brøk av to heltall. Tallet kan være positivt eller negativt. Mengden av rasjonale tall noteres som Q eller $\mathbb {Q}$.

Basert på rasjonale tall kan en definere reelle tall, og mengden av reelle tall vil da inneholde mengden av rasjonale tall. Et irrasjonalt tall er et reelt tall som ikke er rasjonalt.

Mengden av rasjonale tall er tellbar uendelig, slik som mengden heltall er.

Etymologi

Adjektivet rasjonal har opphav i det latinske substantivet ratio, som hadde mange betydninger: «tenkning, fornuft, resonering, relatering». I siste betydning kunne det brukes om relasjonen eller forholdet mellom to størrelser. Et relatert ord ratus betydde «beregnet, kalkulert». Jevnfør på norsk rasjonell (fornuftig) og rasjonere (dele i porsjoner), med samme opphav.

Formell definisjon

Intuitiv kan en ta de rasjonale tallene som mengden av alle brøker, men formelt må en behandle at to brøker kan representere samme tall, som 1/2 og 2/4. I mengdelære er en brøk definert som et ordnet par, utstyrt med visse regneoperasjoner, som addisjon og multiplikasjon. Fra mengden av alle slike ordnede par kan en definere en ekvivalensrelasjon mellom brøker som representerer samme tall. Et rasjonalt tall er så definert lik en ekvivalensklasse av brøker.

Operasjoner som addisjon og subtraksjon for rasjonelle tall må defineres som operasjoner på ekvivalensklassene.

I en slik formalisme er en brøk ikke et rasjonalt tall, det er bare én av mange mulige representasjoner av et slikt tall. Alle ekvivalente brøker 1/2, 2/4, 3/6 ... representerer det samme rasjonalle tallet. Mer uformelt er det likevel vanlig å omtale brøker som rasjonale tall. Heller ikke heltal er teknisk sett rasjonale tall. Til heltallet n svarer det rasjonale tallet definert med en ekvivalensklasse der (n,1) er et element. Rommet av slike ekvivalensklasser er imidlertid isomorft med mengden av heltall N, og siden isomorfe mengder i praksis er ekvivalente, betraktes også N som en delmengde av de rasjonale tallene.

Kanonisk form

I matematisk teori, som tallteori, brukes ofte en kanonisk form for et rasjonalt tall, i form av en brøk der teller og nevner ikke har andre faktorer enn 1. Nevner og teller er da relativt primiske. For negative rasjonale tall har den kanoniske formen en negativ teller.

Desimalrepresentasjon

Et rasjonalt tall kan representeres som et desimaltall. Denne representasjonen vil enten ha et endelig antall siffer eller være periodisk, det vil si avslutte med ett eller flere siffer som gjentas i det uendelige:

${\begin{alignedat}{2}{1 \over 4}&=0.25\\{1 \over 7}&=0.{\overline {142857}}\end{alignedat}}$

Streken over desimaltallet viser gruppen av tall som gjentar seg. Omvendt gjeldet det at ethvert endelig eller periodisk desimaltall er et rasjonalt tall.

Aritmetikk for rasjonale tall

For regneregler for rasjonale tall, se avsnittet Aritmetikk med brøker i artikkelen om brøk.

Egenskaper

Rasjonale tall former sammen med operasjonene addisjon og multiplikasjon en kropp. En sum og et produkt av to rasjonale tall er et rasjonalt tall.

Mengden av rasjonale tall er uendelig, men tellbar.

Ethvert rasjonalt tall er et algebraisk tall, det vil si rot i en polynomligning med heltallskoeffisienter. En nødvendig vilkår for at en slik polynomligning skal ha en rasjonal rot, er at koeffisienten foran det høyeste-ordens leddet er ulik 1.

Relasjonen «mindre enn» ($<$) gjør mengden av rasjonale tall strengt delvis ordnet. Denne relasjonen er tett , det vil si at mellom to vilkårlige rasjonale tall kan en alltid finne et tredje rasjonalt tall:

$a<b\Rightarrow (\exists c)(a<c<b)$

Reelle tall fra rasjonale tall

Basert på mengden av rasjonale tall Q kan en definere mengden av reelle tall R. Det finnes flere fremgangsmåter for dette, for eksempel ved å definere reelle tall som grenser for Cauchy-følger i Q. Et annen alternativ er bruk av en Dedekin-deling, en partisjon av Q i to delmengder.

Mengden av tall i R som ikke er rasjonale, det vil si (R - Q), kalles irrasjonale tall. Flere tallteoretiske setninger viser at ulike tallstørrelser ikke kan være rasjonale, for eksempel løsningen av ligningen

$x^{2}=2$.

Rasjonale tall i mengden av reelle tall

De rasjonale tallene er en delmengde av de reelle tallene. Denne delmengden er tett i de reelle tallene, utstyrt med vanlige metrikk. Dette medfører at ethvert reelt tall kan tilnærmes med et rasjonalt tall, med hvilken som helst grad av nøyaktighet:

$(\forall x\in R)(\forall \epsilon >0)(\exists r\in Q)(|x-r|<\epsilon )$

Mengden av alle n-tupler av rasjonale tall er tett i Rⁿ, med en vilkårlig metrikk.

De rasjonale tallene har mål null i de reelle tallene, som betyr at mengden av rasjonale tall er «liten», sammenlignet med alle reelle tall.

Historie

Historien til rasjonale tall er naturlig tett knyttet til historien for brøker og for irrasjonale og reelle tall.

En moderne introduksjon av rasjonale tall kom først med Richard Dedekind (1831 – 1916) og Georg Cantor (1845 – 1918), som del av arbeidet med å etablere et formelt fundament for reelle tall.

Cantor viste i 1874 at mengden av rasjonale tall er tellbar.

Dedekin brukte bokstaven R for rasjonale tall, og Giuseppe Peano brukte en liten bokstav r. Bruken av Q for de rasjonale tallene skal ha opphav i Bourbakigruppen, en gruppe franske matematikere som arbeidet sammen på 1930-tallet.