Hipotenusa

Um triângulo retângulo e sua hipotenusa.

A hipotenusa (em grego: ὑποτείνουσα, que significa "contrário a") é o lado mais longo de um triângulo retângulo, por ser oposto ao ângulo reto, que define este tipo de triângulo. Em qualquer triângulo retângulo "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa."

O comprimento da hipotenusa em função dos outros lados do triângulo retângulo, chamados catetos, é dado pelo teorema de Pitágoras:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

onde $a\,$ é o comprimento da hipotenusa e $b\,$ e $c\,$ são os comprimentos dos catetos...

No caso particular do terno pitagórico $(3,4,5)$, isto é facilmente verificado:

$a^{2}=4^{2}+3^{2}$

$a^{2}=16+9$

$a^{2}=25$

$a={\sqrt {25}}$

$a=5.$

O triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4 unidades, além de hipotenusa medindo 5 unidades, era comumente utilizado para a medição de terras. Os "esticadores de corda" como eram chamados, utilizavam uma corda com doze nós (definindo assim doze segmentos de reta congruentes entre si) para medir as terras após as enchentes do rio Nilo. Com a corda, formavam um triângulo com lados 3, 4 e 5 unidades de medida (um triângulo retângulo), e utilizavam para isso, três dos nós como sendo os vértices desse triângulo.

Teorema de Pitágoras

Uma ilustração do teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado do comprimento da hipotenusa (⁠$c$⁠) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados (⁠$a$⁠ e ⁠$b$⁠). Isto pode ser escrito como a equação ⁠$a^{2}+b^{2}=c^{2}$⁠. Para calcular o comprimento da hipotenusa, a equação pode ser reorganizada para resolver ⁠$c$⁠ ao extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando em ⁠$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$⁠. Isto é por vezes conhecido como adição pitagórica. Por exemplo, se os dois catetos de um triângulo retângulo têm comprimentos 3 e 4, respetivamente, então a hipotenusa tem comprimento 5, porque ⁠${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$⁠.

O teorema de Pitágoras é um caso especial da lei dos cossenos, um teorema mais geral que relaciona os comprimentos dos lados em qualquer triângulo. Esta afirma que ⁠$a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}$⁠ onde ⁠$\theta$⁠ é o ângulo entre os lados ⁠$a$⁠ e ⁠$b$⁠. Quando ⁠$\theta$⁠ é ⁠${\tfrac {\pi }{2}}$⁠ radianos ou 90°, então ⁠$\cos {\theta }=0$⁠ e a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras habitual.

Seno e cosseno

Para o ângulo α, a função seno fornece a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento da hipotenusa.

Ver artigo principal: Seno e cosseno

As funções seno e cosseno (sin e cos) descrevem a relação da hipotenusa com os comprimentos e ângulos dos outros dois lados. Estas, juntamente com a função tangente (tan), são as funções trigonométricas mais comuns.

As funções trigonométricas são geralmente descritas em termos de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo (⁠$\angle A$⁠), o cateto que é adjacente a esse ângulo e o cateto que é oposto a esse ângulo. O seno do ângulo agudo fornece a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, enquanto o cosseno do ângulo fornece a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Isto pode ser escrito como as equações: $$\sin(\angle A)={\frac {\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}},\qquad \cos(\angle A)={\frac {\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}}.$$

As definições das funções seno, cosseno e tangente são frequentemente recordadas utilizando o mnemônico "SOH-CAH-TOA", onde "SOH" significa "seno = oposto / hipotenusa", "CAH" significa "cosseno = adjacente / hipotenusa" e "TOA" significa "tangente = oposto / adjacente".

Em programação de computadores

Muitas linguagens de programação suportam uma versão da função padrão ISO C hypot(x, y), que calcula a hipotenusa de um triângulo retângulo utilizando o teorema de Pitágoras. A função é projetada para não falhar onde o cálculo direto poderia resultar em estouro aritmético ou subfluxo aritmético. Pode ser frequentemente mais precisa e lenta do que o cálculo direto.

Algumas linguagens estenderam a definição para dimensões superiores. Por exemplo, o C++17 suporta std::hypot(x, y, z), que fornece o comprimento da diagonal de um paralelepípedo retângulo com arestas de comprimentos x, y e z. Python 3.8 inclui uma versão de math.hypot que pode lidar com um número arbitrário de argumentos.

Ver também

• Triângulo
• Triângulo retângulo
• Trigonometria
• Teorema de Pitágoras
• Catetos