Nombre pyramidal

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal est un nombre figuré polyédrique représenté par une pyramide dont la base, un polygone régulier, représente un nombre polygonal. La pyramide est formée de couches représentant des nombres polygonaux successifs.

Pour tous entiers $k\geqslant 3$ et $n\geqslant 3$ , le $n$ -ième nombre $k$ -pyramidal est donc^[1] la somme des nombres $k$ -gonaux d'indices 1 à $n$ :

{\begin{aligned}P_{n}^{(k)}&=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(k-2)i^{2}-(k-4)i}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left((k-2){\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-(k-4){\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(k-2)n-(k-5)}{3}}.\end{aligned}}

On a la relation : $P_{n}^{(k)}=P_{n}^{(k-1)}+{\frac {n(n-1)(n+1)}{6}}=P_{n}^{(k-1)}+P_{n-1}^{(3)}$ ^[2], dont on déduit $P_{n}^{(k)}=(k-3)P_{n-1}^{(3)}+P_{n}^{(3)}=(k-3){\binom {n+1}{3}}+{\binom {n+2}{3}}$ ;

$P_{n}^{(3)}$ est le $n$ -ième nombre tétraédrique.

Exemples

Nombre pyramidal	Somme de	Formule	Les dix premiers nombres	Numéro OEIS
Nombre pyramidal triangulaire, ou nombre tétraédrique	nombres triangulaires	$P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	suite A000292 de l'OEIS
Nombre pyramidal carré	nombres carrés	$P_{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$	1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385	suite A000330 de l'OEIS
Nombre pyramidal pentagonal	nombres pentagonaux	$P_{n}^{(5)}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$	1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550	suite A002411 de l'OEIS
Nombre pyramidal hexagonal	nombres hexagonaux	$P_{n}^{(6)}={\frac {n(n+1)(4n-1)}{6}}$	1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715	suite A002412 de l'OEIS
Nombre pyramidal heptagonal	nombres heptagonaux	$P_{n}^{(7)}={\frac {n(n+1)(5n-2)}{6}}$	1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880	suite A002413 de l'OEIS