Arcsinus

De arcsinus, ook boogsinus, aangeduid door $\mathrm {asin} ,\arcsin ,\mathrm {bgsin}$ of $\sin ^{-1}$, is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de sinus.

Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen $-\pi /2$ en $\pi /2$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is $[-1,1]$ en het bereik is vastgesteld op $[-\pi /2,\pi /2]$. De laatste beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus.

De grafiek van $y=\arcsin x$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte sinus ten opzichte van de lijn $y=x$.

Definitie

De functie $\arcsin$ is gedefinieerd voor $x\in [-1,1]$ door de relatie

$\arcsin(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]{\mbox{ en }}\sin(\alpha )=x$

In woorden: de hoek of boog waarvan de sinus $x$ is, is gelijk aan $\alpha$.

Machtreeks

De arcsinus heeft de reeksontwikkeling:

$\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2n+1)n!n!}}\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{2n}$

Daarin is $\Gamma$ de gammafunctie.

Voorbeeld: $\arcsin \left({\tfrac {1}{2}}\right)=1+{\tfrac {1/3}{2^{3}}}+{\tfrac {3/5}{2^{7}}}+{\tfrac {5/7}{2^{10}}}+\cdots \approx 1{,}0471$ rad.

Afgeleide

De afgeleide van de arcsinus is:

${{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

voor $x\in (-1,1)$.

Zie ook

• arccos(inus)
• arctan(gens)
• cyclometrische functie

Voetnoten

· ·

Wiskundige functies