Indreprodukt

Et indreprodukt (også kalt skalarprodukt) er en funksjon som avbilder to vektorer inn på en skalar. Indreproduktet generaliserer prikkproduktet for komponentvektorer til et generelt vektorrom, og dermed geometriske begrep som vinkel og ortogonalitet. Et vektorrom med et definert indreprodukt kalles et indreproduktrom.

Fra indreproduktet kan en naturlig definere både en norm og en metrikk, og en får dermed definert både vinkelmål, lengdemål og et avstandsmål i rommet. Mange generelle egenskaper knyttet til vinkler og avstand kan studeres i et normert indreproduktrom.

Definisjon

Et indreprodukt på et vektorrom $V$ er en funksjon som for ethvert par av vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ definerer en skalar $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ , slik at funksjonen oppfyller de følgende egenskapene^[1]

Kompleks-konjugert symmetri: $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$
Additivitet: $\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$
Homogenitet: $\langle k\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$
Positivitet: $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \geq 0$ , der $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle =0$ hvis og bare hvis $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

Definisjonen gjelder for både reelle og komplekse vektorrom. I symmetriegenskapen inngår definisjonen av kompleks konjugasjon. Siden resultatet av et indreprodukt er en skalar, kalles et indreprodukt også for et skalarprodukt. Denne betegnelsen er mest vanlig i euklidske rom.^[2]

Merk at indreproduktet av en vektor med seg selv $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ alltid er reell, slik at bruken av ulikheten i positivitetsegenskapen gir mening.

Ett og samme vektorrom kan utstyres med ulike indreprodukt, og dermed definere et flere uavhengige indreproduktrom med ulik struktur.

Skrivemåten $\langle \cdot ,\cdot \rangle \geq 0$ er vanlig for et generelt indreprodukt. Notasjonen er motivert av en forbindelse til lineære funksjonaler, der tilsvarende notasjon er i bruk.^[1] I koordinatrom, inkludert euklidske rom, brukes også en «prikknotasjon»: $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$ .

Egenskaper

For et reelt vektorrom er indreproduktet en symmetrisk billineær form. For et komplekst vektorrom er indreproduktet sesquilineær, det vil si lineær i det ene argumentet og lineær i den komplekst-konjugerte av det andre argumentet. Forstavelsen «sesqui» betyr halvannen, en og en halv.

For både reelle og komplekse vektorrom er indreproduktet positivt definit.

Regneregler

Fra definisjonen av indreproduktet kan en vise følgende regneregler:

$\langle \mathbf {0} ,\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {0} \rangle =0$
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$
$\langle \mathbf {u} ,k\mathbf {v} \rangle =k\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$
$\langle \mathbf {u} -\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle -\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} -\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$

Her er $\mathbf {u}$ , $\mathbf {v}$ og $\mathbf {w}$ vilkårlige vektorer i indreproduktrommet, og $k$ er en vilkårlig skalar.

For et vilkårlig indreprodukt gjelder også Cauchy–Schwarz’ ulikhet, på formen^[1]

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle

.

Norm, avstand og vinkler

I et indreproduktrom $V$ kan en definere normen til en vektor $\mathbf {u}$ ved^[1]

\|\mathbf {u} \|={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}

.

Metrikken $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ gir avstanden mellom to vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ og defineres fra normen på vanlig måte:

d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|

.

I reelle vektorrom kan vinkelen $\theta$ mellom to vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ som begge er ulik null nå defineres ved

\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}

.

Vinkelen er veldefinert, som følge av Cauchy–Schwarz' ulikhet.

To vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ kalles ortogonale dersom $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0$ . Synomyner til ortogonal er normal og vinkelrett. Vinkler er vanligvis ikke definert i et komplekst vektorrom, men egenskapen ortogonalitet brukes både i reelle og komplekse rom.^[3]

Indreprodukt og ytreprodukt i koordinatrom

I et endelig-dimensjonalt reelt rom med en gitt basis kan vektorer skrives på koordinatformen $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ , med n som dimensjonen til rommet. Prikkproduktet er en algebraisk operasjon mellom to vektorer:^[2]

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum ^{n}u_{i}v_{i}

.

Dersom en i dette rommet har definert et indreprodukt og dersom basisen er ortonormal, så vil prikkproduktet og indreproduktet være sammenfallende. At basisen er ortonormal vil si at basisvektorene $\mathbf {e} _{i}$ har egenskapen

\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle =\delta _{ij}

,

der $\delta _{ij}$ er Kronecker-delta. Siden dette er en vanlig situasjon, finner en derfor ofte begrepene «indreprodukt», «skalaprodukt» og «prikkprodukt» brukt om hverandre, ikke minst i euklidske rom.

Med en kolonnerepresentasjon for koordinatvektorene kan indreproduktet skrives som

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}

.

Tilsvarende kan ytreproduktet av to koordinatvektorer skrives som

\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&\dots &u_{1}v_{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n}v_{1}&\dots &u_{n}v_{n}\end{bmatrix}}

Eksempler

Euklidsk indreprodukt

Et euklidsk rom kan defineres som et endelig-dimensjonalt reelt rom utstyrt med prikkproduktet av komponentvektorene som indreprodukt.^[4] I n dimensjoner er dette

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}

.

Unitært indreprodukt

I et komponentrom over komplekse tall kan et indreprodukt defineres ved^[1]

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}{{\overline {v}}_{1}}+u_{2}{{\overline {v}}_{2}}+\cdots +u_{n}{{\overline {v}}_{n}}

.

Her er ${{\overline {v}}_{i}}$ den komplekst-konjugerte av $v_{i}$ . Et slikt vektorrom kalles et unitært rom, og indreproduktet er en hermitisk form.^[5]

Vektet prikkprodukt

Dersom $A$ er en positivt definitt symmetrisk matrise kan en definere et generalisert prikkprodukt på formen

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle _{A}=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v}

.

Den tilsvarende normen er kalt energinormen, og indreproduktet omtales også som energi-indreproduktet.^[6]

Indreprodukt i funksjonsrom

I vektorrommet definert av kvadratisk integrerbare funksjoner på intervallet $\left[0,1\right]$ kan man definere indreproduktet mellom to funksjoner $f=f(x)$ og $g=g(x)$ til å være^[1]

\langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\;dx

Hôlders ulikhet garanterer at indreproduktet er endelig.

For reelle funksjoner av to variabler med kontinuerlige første-ordens deriverte i en åpen region $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ vil følgende uttrykk være et indreprodukt:

\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\left(fg+f_{x}g_{x}+f_{y}g_{y}\right)d\Omega

.

Den partiell deriverte av $f$ med hensyn på $x$ er skrevet $f_{x}$ .

Denne typen indreprodukt er brukt i Sobolev-rom.

Indreprodukt i rom av følger

Gitt et vektorrom av følger $x=\lbrace x_{i}\rbrace$ der kvadratsummen er begrenset:

\sum _{i}^{\infty }|x_{i}|^{2}<\infty

.

Da vil følgende uttrykk definere et indreprodukt:

\langle x,y\rangle =\sum _{i}^{\infty }x_{i}{{\overline {y}}_{i}}

Metrisk tensor som indreprodukt

En metrisk tensor $g:\lbrace g_{ij}\rbrace$ definerer et indreprodukt i et tangentplan til en mangfoldighet $M$ i n dimensjoner, når tensoren er positivt definit.^[7]^[8] Tensoren, og dermed indreproduktet, vil generelt variere fra punkt til punkt på mangfoldigheten. Når $u^{i}$ og $v^{j}$ er kontravariante vektorkomponenter, og man benytter Einsteins summekonvensjon, er indreproduktet gitt ved

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g_{ij}u^{i}v^{j}

Indreproduktet kan på vanlig måte definere en metrikk, og $(M,g)$ kalles en riemannsk mangfoldighet. Slike mangfoldigheter studeres i riemannsk differensialgeometri.

Historie

Navnene indreprodukt og ytreprodukt ble først brukt av Hermann Grassmann (1809–1877).^[9] Begrepene ble valgt fordi de var antonymer, uten noen dypere mening. Grassmann skrev indreproduktet ved hjelp av en vertikal strek: $\mathbf {u} |\mathbf {v}$ .

Se også

Vektorprodukt

Referanser

1 2 3 4 5 6 R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.180ff
1 2 E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 521. ISBN 0-00-434347-6.
↑ F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.203
↑ F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.183
↑ F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.202
↑ S. Graham Kelly (1988). «Development of normal mode theory for multi-degree-of-freedom systems using an energy inner product». SIAM Review. 30 (2): 302–304.
↑ J.L. Synge, A. Schild (1969). Tensor calculus. New York: Dover Publications. s. 26ff. ISBN 0-486-63612-7.
↑ Sigmundur Gudmundsson. «An Introduction to Riemannian Geometry» (PDF). Penn Engineering, University of Pennsylvania. Besøkt 13. mai 2026.
↑ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English.. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 116. ISBN 0-88385-511-9.

Litteratur

Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.
Fr. Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. Analytisk geometri og lineær algebra. Lyngby, Danmark: Polyteknisk forlag. s. 183. ISBN 87-502-0440-8.
G. Fisher, Lineare Algebra, Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.
M.R. Spiegel, S. Lipschutz and D. Spellman, Vector Analysis (Schaum’s Outlines), McGraw Hill, New York (2009). ISBN 978-0-07-161545-7.

[RDM180-1] 1 2 3 4 5 6 R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.180ff

[COL-2] 1 2 E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 521. ISBN 0-00-434347-6.

[FB203-3] F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.203

[FB183-4] F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.183

[FB202-5] F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.202

[6] S. Graham Kelly (1988). «Development of normal mode theory for multi-degree-of-freedom systems using an energy inner product». SIAM Review. 30 (2): 302–304.

[7] J.L. Synge, A. Schild (1969). Tensor calculus. New York: Dover Publications. s. 26ff. ISBN 0-486-63612-7.

[SG-8] Sigmundur Gudmundsson. «An Introduction to Riemannian Geometry» (PDF). Penn Engineering, University of Pennsylvania. Besøkt 13. mai 2026.

[9] Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English.. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 116. ISBN 0-88385-511-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]