Ortogonalitet

Ortogonalitet er en generalisering av vinkelrett.

Ortogonalitet er i matematikk en generalisering av vinkelrett til et indreproduktrom. To vektorer i rommet er ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null. Lineære transformasjoner kalles ortogonale dersom de bevarer indreproduktet.

Ortogonale vektorer er lineært uavhengige av hverandre. Ortogonalitet spiller en viktig rolle i mange område i matematikk, inlkudert matriseteori. approksimasjonsteori og fourieranalyse.

Etymologi

Ordet «ortogonal» har opphav i det greske ordet orthogonios, som betyr rettvinklet. På 1600- og 1700-tallet brukte en i engelsk også orthogon, orthogonium og orthogonion om en rettvinklet trekant.

Definisjon

I et indreproduktrom $V$, med indreproduktet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, er to vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0$.

At to vektorer er ortogonale kan også skrives som $\mathbf {u} \perp \mathbf {v}$.

En vektor $\mathbf {u}$ er ortogonal til en mengde $S$ dersom $\mathbf {u}$ er ortogonal til hver vektor i $S$. To mengder $S$ og $R$ er ortogonale dersom hver vektor i $S$ er ortogonal til $R$ og hver vektor i $R$ er ortogonal til $S$.

En mengde av vektorer er ortogonal dersom vektorene er parvis ortogonale.

Det ortogonale komplementet til en mengde $S$ er en mengde $S^{\perp }$ definert ved

$S^{\perp }=\lbrace \mathbf {v} \in V\ |\ \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\quad \forall \mathbf {u} \in S\rbrace$.

Ortogonalitet og vinkler

Generelt kan en i et normert indreproduktrom definere en vinkel $\theta$ mellom to ikke-null-vektorer, ved

$\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}$.

I de euklidske rommene $\mathbf {R} ^{2}$ og $\mathbf {R} ^{3}$ svarer dette til den geometriske vinkeldefinisjonen. Vinkelen mellom to ortogonale vektorer er da 90$^{\circ }$ eller i radianer ${\frac {\pi }{2}}$.

Eksempel

Mengden av kontinuerlige funksjoner på et intervall $[a,b]$ er et indreproduktrom med indreprodukt

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$.

I intervallet $[0,2\pi ]$ vil de trigonometriske funksjonene $f(x)=\sin x$ og $g(x)=\cos x$ være ortogonale.

Egenskaper til ortogonale vektorer

Nullvektoren er ortogonal til alle andre vektorer.

Pytagoras' læresetning

For to ortogonale vektorer i et normert vektorrom gjelder en generalisering av Pytagoras’ læresetning:

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}$.

Lineær uavhengighet

En mengde ortogonale vektorer $(\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n})$ er lineært uavhengige, slik at

$\alpha _{1}\mathbf {u} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {u} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {u} _{n}=0\qquad \iff \qquad \alpha _{i}=0;\ i=1,\ldots ,n$.

I et rom med endelig dimensjon $n$ vil en mengde av $n$ ortogonale vektorer definere en basis.

Ortonormerte vektorer

I et normert vektorrom er en mengde vektorer $(\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n})$ ortonormert dersom

$\langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Her er $\delta _{ij}$ Kronecker-delta. Vektorene er altså både ortogonale og har lengde lik 1.

En ortonormert mengde $S$ i et Hilbert-rom er maksimal hvis og bare hvis den eneste vektoren som er ortogonal til $S$ er nullvektoren. En slik mengde definerer en basis i Hilbert-rommet.

Ortogonal projeksjon

En lineær transformasjon $P:V\to V$ sies å være idempotent dersom $P^{2}=P$, og transformasjonen er da en projeksjon. Enhver vektor $\mathbf {v}$ i $V$ kan skrives som en sum av to vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {w}$, der den første ligger i rekkevidden til $P$, den andre i nullrommet til $P$:

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &=\mathbf {u} +\mathbf {w} \\P(\mathbf {v} )&=P(\mathbf {u} )+P(\mathbf {w} )=P(\mathbf {u} )=\mathbf {u} \\P(\mathbf {w} )&=0\end{alignedat}}$

Hvis $S$ er et lukket underrom av et Hilbert-rom $V$, så kan en tilsvarende skrive enhver vektor $\mathbf {v}$ i $V$ som en sum

$\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} \qquad \mathbf {u} \in S,\ \ \mathbf {w} \in S^{\perp }$.

Transformasjonen $P(\mathbf {v} )=\mathbf {u}$ kalles den ortogonale projeksjonen av $\mathbf {v}$ på $S$.

Den ortogonale projeksjonen minimerer avstanden fra $\mathbf {v}$ til $S$. Dette er den beste tilnærmingen til $\mathbf {v}$ ved hjelp av vektorer fra $S$.

Ortogonale transformasjoner

En ortogonal transformasjon er en lineær transformasjon $T:V\to V$ som bevarer indreproduktet:

$\langle T\mathbf {u} ,T\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$.

Både lengder og vinkler blir bevart ved en ortogonal transformasjon. Geometrisk svarer transformasjonen til en rotasjon.

Når vektorrommet $V$ er endelig-dimensjonalt, kan en linær transformasjon representeres ved en matrise. Til en ortogonal transformasjon svarer da en ortogonal matrise. En ortogonal matrise $M$ har egenskapene

${\begin{alignedat}{2}M^{T}M&=I\\M^{-1}&=M^{T}.\end{alignedat}}$

Søylene i en ortogonal matrise er ortogonale vektorer, og det samme gjelder for rekkene.

Ortogonale funksjoner

Ortogonale polynom

Mange klasser av polynom er ortogonale, inkludert Tsjebysjev-polynom, Legendre-polynom og Laguerre-polynom. Disse polynomklasene er viktige i approksimasjonsteori.

Bessel-funksjoner

Bessel-funksjoner $J_{m}(\alpha _{n}t)$ er ortogonale.

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Eksterne lenker

• (en) Orthogonality – kategori av bilder, video eller lyd på Commons