Moment centralny

Moment centralny rzędu $k=1,2,\dots$ zmiennej losowej $X$ to wartość oczekiwana funkcji $[X-\mathbb {E} (X)]^{k},$ tzn.:

$\mu _{k}=\mathbb {E} [X-\mathbb {E} (X)]^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\sum _{i}{[x_{i}-\mathbb {E} (X)]^{k}p_{i}}}&{(1)}\\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{[x-\mathbb {E} (X)]^{k}f(x)dx}}&{(2)}\end{matrix}}\right.$

gdzie:

• $X$ – zmienna losowa,
• $\mathbb {E} (X)$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej $X,$
• $p_{i},i=1,2,\dots$ – prawdopodobieństwa, z jakimi dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_{i},i=1,2,\dots$,
• $f(x)$ – funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej $X$.

Wzory (1) i (2) stosuje się odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym oraz ciągłym.

Szczególne przypadki

• $\mu _{0}=1$ – zerowy moment centralny ma zawsze wartość równą 1,
• $\mu _{1}=0$ – pierwszy moment centralny ma zawsze wartość równą 0,
• $\mu _{2}\equiv Var(X)$ – drugi moment centralny jest wariancją rozkładu zmiennej losowej $X$,
• $\mu _{3}$, trzeci moment centralny, pozwala obliczać skośność rozkładu zmiennej losowej (skośność charakteryzuje asymetrię rozkładu empirycznego),
• $\mu _{4}$, czwarty moment centralny, pozwala obliczać kurtozę rozkładu zmiennej losowej.

Zobacz też

• moment zwykły

Bibliografia

• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

Linki zewnętrzne

• Moment centralny. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).
• Moments at Mathworld