7-cub

7-cub regulat (hepteract)
Diagramă Schlegel (vârfuri și laturi)
Tip	7-politop regulat
Simbol Schläfli	{4,35}
Diagramă Coxeter
Celule	14 {4,34} , 84 {4,33} , 280 {4,3,3} , 560 {4,3}
Fețe	672 {4}
Laturi	448
Vârfuri	128
Figura vârfului	6-simplex⁠(d)
Poligon Petrie	tetradecagon
Grup Coxeter	C7, [35,4]
Dual	7-ortoplex
Proprietăți	convex, izogonal, izotoxal, izoedric

În geometrie, un 7-cub este un hipercub cu șapte dimensiuni, având 128 de vârfuri, 448 laturi, 672 fețe pătrate, 560 celule cubice, 280 fețe tesseractice (cvadridimensional), 84 fețe 5-cubice (pentadimensionale) și 14 fețe 6-cubice (hexadimensionale).

Acesta poate fi notat prin simbolul Schläfli {4,3⁵}, fiind compus din 3 6-cuburi în jurul fiecărei fețe pentadimensionale. Poate fi numit și hepteract, un cuvânt telescopat din tesseract (4-cub) și prefixul grec hepta pentru șapte (dimensiuni).

Configurație

Matricea configurației de mai jos reprezintă 7-cubul. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor, celulelor, fețelor cvadridimensionale, fețelor de pentadimensionale și fețelor hexadimensionale. Numerele de pe diagonală arată câte elemente din fiecare tip apar în întregul 7-cub. Numerele din afara diagonalei arată câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}128&7&21&35&35&21&7\\2&448&6&15&20&15&6\\4&4&672&5&10&10&5\\8&12&6&560&4&6&4\\16&32&24&8&280&3&3\\32&80&80&40&10&84&2\\64&192&240&160&60&12&14\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene pentru vârfurile unui 7-cub centrat în origine și cu lungimea laturii 2 sunt

$(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$

în timp ce interiorul acestuia este format din toate punctele $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})$ cu $-1<x_{i}<1.$

Proiecții

Această imagine a unui 7-cub este o proiecție ortogonală. Această orientare arată coloane de vârfuri poziționate la o distanță vârf-latură-vârf de la un vârf din partea stângă la un vârf din partea dreaptă, iar laturile leagă coloane adiacente de vârfuri. Numărul de vârfuri din fiecare coloană reprezintă rânduri din triunghiul lui Pascal, fiind 1:7:21:35:35:21:7:1.

Proiecții ortogonale

Planul Coxeter	B7 / A6	B6 / D7	B5 / D6 / A4
Imagine
Simetrie diedrală	[14]	[12]	[10]
Planul Coxeter	B4 / D5	B3 / D4 / A2	B2 / D3
Imagine
Simetrie diedrală	[8]	[6]	[4]
Planul Coxeter	A5	A3
Imagine
Simetrie diedrală	[6]	[4]

Politopuri înrudite

Dualul unui 7-cub se numește 7-ortoplex și face parte din familia infinită a ortoplexurilor.

Aplicând o operație de alternare, ștergând vârfurile alternante ale hepteractului, se creează un alt politop uniform, numit demihepteract^⁠(d), (parte a unei familii infinite numite demihipercuburi), care are 14 fețe demihexeractice^⁠(d) și 64 de fețe 6-simplex^⁠(d) hexadimensionale.

Poligoane Petrie ale proiecțiilor ortogonale

Segment	Pătrat	Cub	Tesseract	5-cub	6-cub	7-cub	8-cub	9-cub	10-cub

Bibliografie

• H.S.M. Coxeter:

• en Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
• en Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 Arhivat în 11 iulie 2016, la Wayback Machine.

• (Paper 22) Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
• (Paper 23) Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
• (Paper 24) Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

• en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)

• en N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)

• en Klitzing, Richard. „7D uniform polytopes (polyexa) o3o3o3o3o3o4x - hept”. 

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Hypercube la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Hypercube graph la MathWorld.
• en George Olshevsky. „Measure polytope”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la 4 februarie 2007. 

• en Multi-dimensional Glossary: hypercube Garrett Jones
• en Rotation of 7D-Cube www.4d-screen.de