e (tal)

Tallet ${\text{e}}$ er en matematisk konstant, som er grundlaget for den naturlige eksponentialfunktion samt den naturlige logaritme. ${\text{e}}$ kaldes også Eulers tal, opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler. Det er et transcendent tal, hvis første 50 decimaler er:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Talsymbolet kursiveres ikke. Dets Unicode-kode glyf ^(no) er ℯ, som fås med koden & # x 212F; (uden mellemrum!), men det benyttes ikke her.

Definitioner

Der er forskellige definitioner for ${\text{e}}$, men en er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen $y=f(x)={\text{e}}^{x}$ altid er lig med $y$. Tallet ${\text{e}}$ er det eneste positive tal, hvorom dette gælder. For eksponentialfunktionen $y={a}^{x}$ er $a={\text{e}}$ altså den eneste positive værdi, for hvilken differentialkvotienten af funktionen er lig med funktionen selv:

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}{a}^{x}={a}^{x}.$

Desuden er ${\text{e}}$ grundtallet for den naturlige logaritmefunktion $\ln$. Derfor opfylder ${\text{e}}$ følgende:

$\ln({\text{e}})=\int _{1}^{\text{e}}{\frac {1}{x}}{d}x=1.$

Af konstruktive formler kan blandt mange nævnes:

${\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

${\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots +{1 \over n!}+\cdots .$

Historie

Euler beviste i 1737, at tallet er irrationelt. I 1873 viste Charles Hermite ^(no) at det endda er et transcendent tal.

Eulers identitet

Uddybende artikel: Eulers formel

Ligheden

${\text{e}}^{\pi i}+1=0$

er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Denne identitet kaldes Eulers identitet.

Notation

Den naturlige eksponentialfunktion ${\text{e}}^{x}$ noteres somme tider som

$\exp(x)={\text{e}}^{x}.$

Denne notation bruges især på computere, for eksempel i programmeringssprog og regneark, hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig.

Kulturel Betydning

Konstanten fejres årligt d. 27. januar eller den 7. februar på eulers-dag.