Logarytm naturalny

Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny – logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e=2{,}718281828...$ Oznaczany $\log _{e},$ $\ln$.

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do ${\frac {1}{e}}.$

Logarytm jako pole pod wykresem

Logarytm naturalny $\ln t$ jest równy polu zacieniowanego obszaru pod wykresem funkcji $f(x)=1/x$ od $1$ do $t$, które oblicza się jako całkę oznaczoną: $\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx$.

Logarytm naturalny liczby $t\in (0,+\infty )$ można zdefiniować jako całkę oznaczoną

$\ln(t)=\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.$

Geometrycznie jest to pole pod wykresem funkcji $f(x)={\frac {1}{x}}$ liczone ze znakiem. Przy czym: a) Jeżeli $t>1$, to całka przedstawia pole obszaru pod wykresem między $x=1$ i $x=t$, dlatego $\ln(t)>0.$

b) Jeżeli $0<t<1$, to granica górna całki jest mniejsza od dolnej, więc

$\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=-\int \limits _{t}^{1}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.$

Wartość całki jest zatem ujemna, mimo że pole geometrycznego obszaru między $x=t$ i $x=1$ jest dodatnie. W konsekwencji $\ln(t)<0.$

Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.$

Dowód

Oznaczmy:

$a^{x}-1={\frac {1}{z}}$

(1)

Wtedy $a^{x}={\frac {1}{z}}+1.$ Logarytmując obustronnie przy podstawie $e,$ otrzymujemy:

$x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),$

${\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.$

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

${\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.$

Teraz należy wykazać, że przy $x\to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z={\frac {1}{a^{x}-1}}.$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

$\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.$

Wyrażenie $\left(1+{\tfrac {1}{z}}\right)^{z}$ w mianowniku dąży do $e,$ więc mianownik jest równy $\ln e=\log _{e}e=1,$ co było do okazania. cnd.

Pochodna logarytmu naturalnego

Pochodna logarytmu o dowolnej podstawie $a$ dana jest wzorem:

$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$

Dowód

${\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}\end{aligned}}$

Dla logarytmu naturalnego mamy $a=e$ oraz $\ln e=1.$ Stąd

$(\ln x)'={\frac {1}{x}}$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodną $n$-tego rzędu logarytmu naturalnego wyraża wzór:

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}},\quad n=1,2,3\dots$

Dowód

Dla $n=1$ mamy

$(\ln x)'={\frac {1}{x}}={\frac {(-1)^{1-1}(1-1)!}{x^{1}}},$

więc wzór jest prawdziwy.

Załóżmy teraz, że dla pewnego $n\geqslant 1$

$(\ln x)^{(n)}={\frac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}.$

Różniczkując obustronnie, otrzymujemy

$(\ln x)^{(n+1)}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}\right)=(-1)^{n-1}(n-1)!{\frac {d}{dx}}(x^{-n})=(-1)^{n-1}(n-1)!(-n)x^{-n-1}={\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}.$

Zatem wzór jest prawdziwy dla $n+1$. Na mocy zasady indukcji matematycznej

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}$

dla każdego $n\geqslant 1$.

Własności

• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\quad {\text{ dla }}\,x,y>0$
• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\text{ dla }}\,0<x<y$
• ${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h\quad {\text{ dla }}\,h>-1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję ${\displaystyle \ln$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} }

• $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(x)-\ln(y)$ dla $x,y>0$
• Jeśli ciąg $c_{n}\to 0,c_{n}>-1,c_{n}\neq 0,$ to:

${\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1$

• $\ln e^{x}=x,$
• $e^{\ln x}=x$ dla $x>0,$
• $\ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x$
• $\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$
• $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C$
• $\ln(x)\leqslant x-1$

Rozwinięcie w szereg Taylora i Maclaurina

Kolejne wielomiany szeregu Maclaurina funkcji $\ln(1+x)$. Rozwinięcie jest zbieżne dla $-1<x\leqslant 1$. Dla $x>1$ wielomiany coraz wyższych stopni nie poprawiają przybliżenia funkcji poza przedziałem zbieżności szeregu.

Szereg Taylora funkcji $\ln(x)$

Ponieważ punkt $x=0$ nie należy do dziedziny funkcji $\ln(x)$, funkcja ta nie posiada rozwinięcia w szereg Maclaurina. Można jednak rozwijać ją w szereg Taylora wokół innych punktów.

Rozwijając funkcję wokół punktu $x_{0}=1$, otrzymujemy:

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=$

$=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\dots$

Szereg ten jest zbieżny dla $0<x\leqslant 2$.

Szereg Maclaurina funkcji $\ln(1+x)$

Z powyższego wzoru po podstawieniu $x\mapsto 1+x$ otrzymujemy rozwinięcie Maclaurina funkcji $\ln(1+x)$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots$

Szereg ten jest zbieżny dla $-1<x\leqslant 1$.

Zastosowania rozwinięć w szereg Taylora i Maclaurina

Rozwinięcia logarytmu naturalnego w szereg Taylora i Maclaurina znajdują zastosowanie w analizie matematycznej, obliczeniach numerycznych oraz naukach przyrodniczych.

Przybliżanie wartości logarytmu. Dla argumentów bliskich jedności logarytm można obliczać za pomocą szeregu:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots$

Np.

$\ln(1{,}1)\approx 0{,}1-{\frac {0{,}1^{2}}{2}}+{\frac {0{,}1^{3}}{3}}=0{,}09533$

co stanowi dobre przybliżenie wartości rzeczywistej

$\ln(1{,}1)\approx 0{,}09531$.

Wyznaczanie granic. Rozwinięcie Maclaurina pozwala łatwo obliczać granice, np.:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(1-{\frac {x}{2}}+{\frac {x^{2}}{3}}-\dots \right)=1$

Analiza zachowania funkcji. Upraszczanie wzorów. Pierwsze wyrazy szeregu opisują lokalne zachowanie funkcji w pobliżu danego punktu. Dla małych wartości $x$:

$\ln(1+x)\approx x\quad {\text{dla }}|x|\ll 1$

Oznacza to, że logarytm naturalny jest w pobliżu zera bardzo dobrze przybliżany funkcją liniową. Stosując przybliżenia można upraszczać wzory, stosowanie do opisu zjawisk fizycznych, itp.

Informatyka i metody numeryczne. Rozwinięcia szeregowe były wykorzystywane w kalkulatorach i komputerach do obliczania wartości funkcji elementarnych. Zamiast bezpośrednio obliczać logarytm, sumowano kolejne wyrazy szeregu aż do uzyskania wymaganej dokładności.

Bibliografia

• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 155-156 (w dziedzinie liczb rzeczywistych) oraz str. 581 i 593 (w dziedzinie liczb zespolonych).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Logarithm, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].