Silnia

Wybrane wartości silni

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 1025
50	~3,041 409 32 · 1064
70	~1,197 857 167 · 10100
100	~9,332 621 544 · 10157
450	~1,733 368 733 · 101000
1000	~4,023 872 601 · 102567
10 000	~2,846 259 681 · 1035 659
100 000	~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000	~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000	~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100	~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich kolejnych dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. Często przyjmuje się także dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1, choć nie wynika to bezpośrednio z samej powyższej definicji.

Notacja

Do oznaczania silni liczby (naturalnej) $\,n\,$, powszechnie stosuje się zapis $\,n!\,$. Na przykład, dla liczb $\,1\,$ oraz $\,2\,$, jest to odpowiednio: $\,1!\,$ oraz $\,2!\,$. Zapis ten (np. dla liczb $\,1\,$ oraz $\,2\,$) odczytuje się w sposób (odpowiednio): „jeden silnia”, „dwa silnia” itd. (ogólnie także, dla $\,n!\,$: „en silnia”).

Definicje silni

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

${\displaystyle$ !:\mathbb {N} _{\geqslant 0}\to \mathbb {N} _{\geqslant 1}}

Definicja 1

Silnią liczby naturalnej dodatniej $n$ nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz dodatkowo przyjmuje się $0!=1$, tj.

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

co można zapisać równoważnie używając greckiej litery $\Pi$:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k$

Definicja 2

Definicja rekurencyjna silni:

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

Przykłady

$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Obliczanie komputerowe

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla $n=13.$ Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla $n=21.$

n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Problem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.

Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu

Porównanie silni, przybliżenia Stirlinga oraz przybliżenia $n!\approx (n/e)^{n}$ w skali podwójnie logarytmicznej.

Błąd względny obciętego szeregu Stirlinga w zależności od liczby wyrazów.

Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.

(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\dots )$

(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych $n$ można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

$\ln(n!)\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).$

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^{n}),$

gdzie $o$ to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości $n$ wartość $n!$ jest coraz mniejsza od $n^{n};$ formalnie wyraża to wzór:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0$.

Symbol $\lim _{n\to \infty }$ oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},$

gdzie wykładnik $\alpha _{n}$ spełnia nierówności

${\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}$

Właściwości

Podstawowa własność silni

$n!=n\cdot (n-1)!$

Tempo wzrostu silni

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji $n!$ wraz ze wzrostem $n$ jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji $e^{n}$, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej $e^{e^{n}}$ .

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do $n^{n+1/2}\approx n^{n},$ ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego $e^{n}$.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze $p_{i},i=1,2,\dots ,k$ takie że

$n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},$

to wykładnik liczby pierwszej $p_{i}$ oblicza się ze wzoru

$\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,$

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x.$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,$

przy czym $k$ wyznacza się z nierówności

$5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.$

Przykłady

(1) Dla $n=26$ mamy $5^{2}<26<5^{3}$, czyli $k=2;$ liczba $26!$ ma na końcu

$f(26)=\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6$ zer.

Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż

$26!=403\,291461\,126605\,635584\,000000$

(2) Jeżeli $n<5,$ to nierówności są spełnione przez $k=0;$ w tym wypadku mamy $f(n)=0,$ co oznacza że silnie liczb $<5$ nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

• analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!,$
• geometria $n$-wymiarowa, np. stosunek miary $n$-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!,$
• kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$-elementowego jest równa $n!.$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Faktorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr danego systemu liczbowego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności w systemie dziesiętnym: $1$, $2$, $145$ i $40585$.

Funkcja gamma

Funkcja gamma (przesunięta o jedną jednostkę w lewo, aby odpowiadała silni) stanowi ciągłe uogólnienie silni na argumenty inne niż naturalne. Tu pokazano wykres funkcji gamma dla liczb rzeczywistych.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$

Ponieważ $\Gamma (1)=1$, więc z powyższego wynika

$\Gamma (n+1)=n!$

dla wszystkich liczb naturalnych $n.$

Funkcja $\Gamma$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Wartości bezwzględne zespolonej funkcji gamma, ukazujące bieguny w nie-dodatnich liczbach całkowitych.

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n.$ Silnię podwójną oznacza się $n!!.$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej :

$n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}$

Przykład:

$8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$

$9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}$

Zależność od funkcji gamma:

$(2n-1)!!=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)$

gdyż 

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}.$

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną $n!!!$, poczwórną $n!^{(4)}$ i ogólnie, silnię $k$-tą, $k=1,2,\dots$, którą oznaczamy symbolem $n!^{(k)}.$ Definiuje się ją następująco :

$n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}$

Czyli np.:

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$

$n!!=n(n-2)(n-4)\cdots$

$n!!!=n(n-3)(n-6)\cdots$

$n^{(4)}!=n(n-4)(n-8)\cdots$

Bibliografia

• M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington 1970, str. 255 .
• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019, str. 191-193. .
• Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Double Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multifactorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022  (ang.).
• http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)

Wybrane wartości silni

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 1025
50	~3,041 409 32 · 1064
70	~1,197 857 167 · 10100
100	~9,332 621 544 · 10157
450	~1,733 368 733 · 101000
1000	~4,023 872 601 · 102567
10 000	~2,846 259 681 · 1035 659
100 000	~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000	~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000	~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100	~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz przyjmuje się dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1.

Stosuje się zapis $n!,$ $2!$ itd., który odczytuje się „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Definicje silni

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

${\displaystyle$ !:\mathbb {N} _{\geqslant 0}\to \mathbb {N} _{\geqslant 1}}

Definicja 1

Silnią liczby naturalnej dodatniej $n$ nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ oraz dodatkowo przyjmuje się $0!=1$, tj.

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

co można zapisać równoważnie używając greckiej litery $\Pi$:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k$

Definicja 2

Definicja rekurencyjna silni:

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

Przykłady

$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Obliczanie komputerowe

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla $n=13.$ Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla $n=21.$

n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Problem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.

Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu

Porównanie silni, przybliżenia Stirlinga oraz przybliżenia $n!\approx (n/e)^{n}$ w skali podwójnie logarytmicznej.

Błąd względny obciętego szeregu Stirlinga w zależności od liczby wyrazów.

Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.

(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\dots )$

(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych $n$ można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

$\ln(n!)\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).$

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^{n}),$

gdzie $o$ to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości $n$ wartość $n!$ jest coraz mniejsza od $n^{n};$ formalnie wyraża to wzór:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0$.

Symbol $\lim _{n\to \infty }$ oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},$

gdzie wykładnik $\alpha _{n}$ spełnia nierówności

${\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}$

Właściwości

Podstawowa własność silni

$n!=n\cdot (n-1)!$

Tempo wzrostu silni

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji $n!$ wraz ze wzrostem $n$ jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji $e^{n}$, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej $e^{e^{n}}$ .

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do $n^{n+1/2}\approx n^{n},$ ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego $e^{n}$.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze $p_{i},i=1,2,\dots ,k$ takie że

$n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},$

to wykładnik liczby pierwszej $p_{i}$ oblicza się ze wzoru

$\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,$

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x.$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,$

przy czym $k$ wyznacza się z nierówności

$5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.$

Przykłady

(1) Dla $n=26$ mamy $5^{2}<26<5^{3}$, czyli $k=2;$ liczba $26!$ ma na końcu

$f(26)=\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6$ zer.

Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż

$26!=403\,291461\,126605\,635584\,000000$

(2) Jeżeli $n<5,$ to nierówności są spełnione przez $k=0;$ w tym wypadku mamy $f(n)=0,$ co oznacza że silnie liczb $<5$ nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

• analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!,$
• geometria $n$-wymiarowa, np. stosunek miary $n$-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!,$
• kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$-elementowego jest równa $n!.$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Faktorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.

Funkcja gamma

Funkcja gamma (przesunięta o jedną jednostkę w lewo, aby odpowiadała silni) stanowi ciągłe uogólnienie silni na argumenty inne niż naturalne. Tu pokazano wykres funkcji gamma dla liczb rzeczywistych.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$

Ponieważ $\Gamma (1)=1$, więc z powyższego wynika

$\Gamma (n+1)=n!$

dla wszystkich liczb naturalnych $n.$

Funkcja $\Gamma$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Wartości bezwzględne zespolonej funkcji gamma, ukazujące bieguny w nie-dodatnich liczbach całkowitych.

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n.$ Silnię podwójną oznacza się $n!!.$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej :

$n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}$

Przykład:

$8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$

$9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}$

Zależność od funkcji gamma:

$(2n-1)!!=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)$

gdyż 

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}.$

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną $n!!!$, poczwórną $n!^{(4)}$ i ogólnie, silnię $k$-tą, $k=1,2,\dots$, którą oznaczamy symbolem $n!^{(k)}.$ Definiuje się ją następująco :

$n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}$

Czyli np.:

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$

$n!!=n(n-2)(n-4)\cdots$

$n!!!=n(n-3)(n-6)\cdots$

$n^{(4)}!=n(n-4)(n-8)\cdots$

Bibliografia

• M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington 1970, str. 255 .
• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019, str. 191-193. .
• Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Double Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multifactorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022  (ang.).
• http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)

Kontrola autorytatywna (integer-valued function):

• GND: 4153607-1

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3975225
• Britannica: topic/factorial
• Treccani: fattoriale
• stara БРЭ: 4705409
• SNL: n-fakultet
• Catalana: 0182881