Joseph-Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange
Polinômio de Lagrange, função de Lagrange, mecânica de Lagrange, multiplicadores de Lagrange, pontos de Lagrange, teorema de Lagrange, nomes na Torre Eiffel
Nascimento	Giuseppe Ludovico Lagrangia 25 de janeiro de 1736 Turim
Morte	10 de abril de 1813 (77 anos) Paris
Sepultamento	Panteão
Nacionalidade	italiano
Cidadania	França, Reino da Sardenha
Cônjuge	Vittoria Conti, Adélaïde Le Monnier
Alma mater	Universidade de Turim
Ocupação	matemático, astrônomo, físico, político, escritor, professor universitário, surveying engineer, conde
Distinções	Grande-Oficial da Legião de Honra (1808) membro da Royal Society (1791) Grã-cruz da Ordem da Reunião (1813) 72 nomes na Torre Eiffel
Empregador(a)	Escola Normal Superior de Paris, Royal Academy of Turin, Academia de Ciências da Prússia, Académie des Sciences, Escola Politécnica
Orientador(a)(es/s)	Leonhard Euler
Instituições	École Polytechnique
Obras destacadas	list of things named after Joseph-Louis Lagrange, Mécanique analytique
Título	Count of the Empire
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 Nota: "Lagrange" redireciona para este artigo. Para o soldado, veja Joseph Lagrange (soldado).

Joseph-Louis Lagrange (nascido Giuseppe Luigi Lagrangia ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier; 25 de janeiro de 1736 – 10 de abril de 1813), também registrado como Giuseppe Luigi Lagrange ou Lagrangia, foi um matemático, físico e astrônomo italiano e naturalizado francês. Ele fez contribuições significativas para as áreas de análise, teoria dos números e tanto para a mecânica clássica quanto para a mecânica celeste.

Em 1766, por recomendação de Leonhard Euler e d'Alembert, Lagrange sucedeu Euler como diretor de matemática da Academia de Ciências da Prússia em Berlim, Prússia, onde permaneceu por mais de vinte anos, produzindo muitos volumes de trabalho e ganhando vários prêmios da Academia Francesa de Ciências. O tratado de Lagrange sobre mecânica analítica (Mécanique analytique, 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), que foi escrito em Berlim e publicado pela primeira vez em 1788, ofereceu o tratamento mais abrangente da mecânica clássica desde Isaac Newton e formou uma base para o desenvolvimento da física matemática no século XIX.

Em 1787, aos 51 anos, mudou-se de Berlim para Paris e tornou-se membro da Academia Francesa de Ciências. Permaneceu na França até o fim de sua vida. Ele foi fundamental no processo de decimalização na França Revolucionária, tornou-se o primeiro professor de análise na École Polytechnique quando esta abriu em 1794, foi membro fundador do Bureau des Longitudes e tornou-se Senador em 1799.

Contribuição científica

Lagrange foi um dos criadores do cálculo de variações, derivando as equações de Euler-Lagrange para extremos de funcionais. Ele estendeu o método para incluir possíveis restrições, chegando ao método dos multiplicadores de Lagrange. Lagrange inventou o método de resolução de equações diferenciais conhecido como variação dos parâmetros, aplicou o cálculo diferencial à teoria das probabilidades e trabalhou em soluções para equações algébricas. Ele provou que todo número natural é a soma de quatro quadrados. Seu tratado Théorie des fonctions analytiques estabeleceu algumas das bases da teoria dos grupos, antecipando Galois. No cálculo, Lagrange desenvolveu uma abordagem inovadora para interpolação e o teorema de Taylor. Ele estudou o problema dos três corpos para a Terra, Sol e Lua (1764) e o movimento dos satélites de Júpiter (1766), e em 1772 encontrou as soluções de caso especial para este problema que resultam no que são agora conhecidos como pontos de Lagrange. Lagrange é mais conhecido por transformar a mecânica newtoniana em um ramo da análise, a mecânica lagrangiana. Ele apresentou os "princípios" mecânicos como resultados simples do cálculo variacional.

Biografia

Retrato de Joseph-Louis Lagrange (século XVIII)

Primeiros anos

Primogênito de onze filhos como Giuseppe Lodovico Lagrangia, Lagrange era descendente de italianos e franceses. Seu bisavô paterno foi um capitão de cavalaria do Reino da França, cuja família era originária da região francesa de Tours. Após servir sob Luís XIV, ele entrou ao serviço de Carlos Emanuel II, Duque de Saboia, e casou-se com uma Conti da nobre família romana. O pai de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, era doutor em Direito pela Universidade de Turim, enquanto sua mãe era filha única de um médico rico de Cambiano, no campo de Turim. Ele foi criado como católico romano (mas mais tarde tornou-se agnóstico).

Seu pai, que estava encarregado do cofre militar do Rei e era Tesoureiro do Escritório de Obras Públicas e Fortificações em Turim, deveria manter uma boa posição social e riqueza, mas antes que seu filho crescesse, ele perdera a maior parte de sua propriedade em especulações. Uma carreira como advogado foi planejada para Lagrange por seu pai, e certamente Lagrange parece ter aceitado isso de bom grado. Ele estudou na Universidade de Turim e sua matéria favorita era o latim clássico. No início, não tinha grande entusiasmo pela matemática, achando a geometria grega bastante enfadonha.

Foi somente aos dezessete anos que mostrou algum gosto pela matemática – seu interesse pelo assunto foi inicialmente despertado por um artigo de Edmond Halley de 1693 que encontrou por acaso. Sozinho e sem ajuda, lançou-se aos estudos matemáticos; ao final de um ano de trabalho incessante, já era um matemático consumado. Carlos Emanuel III nomeou Lagrange para servir como "Sostituto del Maestro di Matematica" (professor assistente de matemática) na Academia Militar Real de Teoria e Prática da Artilharia em 1755, onde lecionou cursos de cálculo e mecânica para apoiar a adoção precoce pelo exército piemontês das teorias balísticas de Benjamin Robins e Leonhard Euler. Nessa qualidade, Lagrange foi o primeiro a ensinar cálculo em uma escola de engenharia. Segundo Alessandro Papacino D'Antoni, comandante militar da academia e famoso teórico de artilharia, Lagrange infelizmente revelou-se um professor problemático devido ao seu estilo de ensino distraído, raciocínio abstrato e impaciência com aplicações de artilharia e engenharia de fortificações. Nesta academia, um de seus alunos foi François Daviet.

Cálculo variacional

Lagrange é um dos fundadores do cálculo de variações. A partir de 1754, trabalhou no problema da tautócrona, descobrindo um método de maximizar e minimizar funcionais de maneira semelhante a encontrar extremos de funções. Lagrange escreveu várias cartas a Leonhard Euler entre 1754 e 1756 descrevendo seus resultados. Ele delineou seu "δ-algoritmo", levando às equações de Euler-Lagrange do cálculo variacional e simplificando consideravelmente a análise anterior de Euler. Lagrange também aplicou suas ideias a problemas de mecânica clássica, generalizando os resultados de Euler e Maupertuis.

Euler ficou muito impressionado com os resultados de Lagrange. Afirma-se que "com cortesia característica, ele reteve um artigo que havia escrito anteriormente, que cobria parte do mesmo terreno, para que o jovem italiano tivesse tempo de completar seu trabalho e reivindicar a invenção incontestável do novo cálculo"; no entanto, essa visão cavalheiresca foi contestada. Lagrange publicou seu método em duas memórias da Sociedade de Turim em 1762 e 1773.

Miscellanea Taurinensia

Em 1757, juntamente com Giuseppe Angelo Saluzzo (um químico que disponibilizou sua casa para as reuniões) e o físico Giovanni Francesco Cigna, Lagrange fundou uma sociedade, que foi posteriormente incorporada como a Academia de Ciências de Turim. A maioria de seus primeiros escritos encontra-se nos cinco volumes das transações da Academia, geralmente conhecidos como Miscellanea Taurinensia. Muitos desses artigos são elaborados. O primeiro volume contém um artigo sobre a teoria da propagação do som; nele ele indica um erro cometido por Newton, obtém a equação diferencial geral para o movimento e a integra para o movimento em linha reta. Este volume também contém a solução completa do problema de uma corda vibrando transversalmente; neste artigo, ele aponta a falta de generalidade nas soluções dadas anteriormente por Brook Taylor, D'Alembert e Euler, e chega à conclusão de que a forma da curva em qualquer instante t é dada pela equação $y=a\sin(mx)\sin(nt)\,$. O artigo conclui com uma discussão magistral sobre ecos, batimentos e sons compostos. Outros artigos neste volume tratam de séries recorrentes, probabilidades e cálculo de variações.

O segundo volume contém um longo artigo que incorpora os resultados de vários artigos do primeiro volume sobre a teoria e notação do cálculo de variações, e ele ilustra seu uso deduzindo o princípio da ação mínima e resolvendo vários problemas em dinâmica.

O terceiro volume inclui a solução de vários problemas dinâmicos por meio do cálculo de variações; alguns artigos sobre o cálculo integral; uma solução de um problema de Fermat: dado um inteiro n que não é um quadrado perfeito, encontrar um número x tal que nx² + 1 seja um quadrado perfeito; e as equações diferenciais gerais de movimento para três corpos movendo-se sob suas atrações mútuas.

O próximo trabalho que produziu foi em 1764 sobre a libração da Lua e uma explicação de por que a mesma face estava sempre voltada para a Terra, um problema que ele tratou com o auxílio do trabalho virtual. Sua solução é especialmente interessante por conter o germe da ideia de equações generalizadas de movimento, equações que ele provou formalmente pela primeira vez em 1780.

Berlim

Já em 1756, Euler e Maupertuis, vendo o talento matemático de Lagrange, tentaram persuadi-lo a vir para Berlim, mas ele recusou timidamente a oferta. Em 1765, d'Alembert intercedeu em nome de Lagrange junto a Frederico da Prússia e, por carta, pediu-lhe que deixasse Turim por uma posição consideravelmente mais prestigiosa em Berlim. Ele novamente recusou a oferta, respondendo que

Parece-me que Berlim não seria nada adequada para mim enquanto o Sr. Euler estiver lá.

Em 1766, depois que Euler deixou Berlim para São Petersburgo, o próprio Frederico escreveu a Lagrange expressando o desejo de "o maior rei da Europa" ter "o maior matemático da Europa" residente em sua corte. Lagrange foi finalmente convencido. Passou os vinte anos seguintes na Prússia, onde produziu uma longa série de artigos publicados nas transações de Berlim e Turim e compôs sua obra monumental, a Mécanique analytique. Em 1767, casou-se com sua prima Vittoria Conti.

Lagrange era um favorito do rei, que frequentemente o instruía sobre as vantagens da perfeita regularidade de vida. A lição foi aceita, e Lagrange estudou sua mente e seu corpo como se fossem máquinas, e experimentou para encontrar a quantidade exata de trabalho que poderia fazer antes da exaustão. Todas as noites, ele definia uma tarefa definida para o dia seguinte e, ao concluir qualquer ramo de um assunto, escrevia uma breve análise para ver quais pontos nas demonstrações ou no assunto eram passíveis de melhoria. Ele planejava cuidadosamente seus artigos antes de escrevê-los, geralmente sem uma única rasura ou correção.

No entanto, durante seus anos em Berlim, a saúde de Lagrange era bastante frágil, e a de sua esposa Vittoria era ainda pior. Ela morreu em 1783 após anos de doença, e Lagrange ficou muito deprimido. Em 1786, Frederico II morreu, e o clima em Berlim tornou-se difícil para Lagrange.

Paris

Em 1786, após a morte de Frederico, Lagrange recebeu convites semelhantes de estados como Espanha e Nápoles, e aceitou a oferta de Luís XVI para se mudar para Paris. Na França, foi recebido com todas as marcas de distinção e apartamentos especiais no Louvre foram preparados para sua recepção, e tornou-se membro da Academia Francesa de Ciências, que mais tarde se tornou parte do Institut de France (1795). No início de sua residência em Paris, foi acometido por um ataque de melancolia, e até mesmo a cópia impressa de sua Mécanique, na qual havia trabalhado por um quarto de século, permaneceu por mais de dois anos fechada em sua mesa. A curiosidade sobre os resultados da Revolução Francesa primeiro o tirou de sua letargia, uma curiosidade que logo se transformou em alarme à medida que a revolução se desenvolvia.

Foi mais ou menos na mesma época, em 1792, que a tristeza inexplicável de sua vida e sua timidez comoveram a compaixão de Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, de 24 anos, filha de seu amigo, o astrônomo Pierre Charles Le Monnier. Ela insistiu em se casar com ele e provou ser uma esposa dedicada, a quem ele se apegou calorosamente.

Em setembro de 1793, o Reinado do Terror começou. Sob a intervenção de Antoine Lavoisier, que já havia sido expulso da academia junto com muitos outros estudiosos, Lagrange foi especificamente isento pelo nome no decreto de outubro de 1793 que ordenava que todos os estrangeiros deixassem a França. Em 4 de maio de 1794, Lavoisier e outros 27 fazendeiros de impostos foram presos e condenados à morte e guilhotinados na tarde seguinte ao julgamento. Lagrange disse sobre a morte de Lavoisier:

Levou apenas um momento para fazer essa cabeça cair e cem anos não serão suficientes para produzir outra igual.

Embora Lagrange estivesse se preparando para escapar da França enquanto ainda havia tempo, ele nunca esteve em perigo real; diferentes governos revolucionários (e, mais tarde, Napoleão) concederam-lhe honrarias e distinções. Essa sorte ou segurança pode, até certo ponto, ser devida à sua atitude perante a vida, que ele expressou muitos anos antes: "Acredito que, em geral, um dos primeiros princípios de todo homem sábio é conformar-se estritamente às leis do país em que vive, mesmo quando elas são irracionais". Um testemunho impressionante do respeito que lhe era dispensado foi demonstrado em 1796, quando o comissário francês na Itália recebeu ordens de comparecer em toda a sua pompa diante do pai de Lagrange e expressar as felicitações da república pelas realizações de seu filho, que "havia honrado toda a humanidade com seu gênio, e a quem era uma glória especial do Piemonte ter produzido". Pode-se acrescentar que Napoleão, quando alcançou o poder, incentivou calorosamente os estudos científicos na França e foi um benfeitor liberal deles. Nomeado senador em 1799, foi o primeiro signatário do Sénatus-consulte que em 1802 anexou sua pátria, o Piemonte, à França. Adquiriu a cidadania francesa como consequência. Os franceses afirmavam que ele era um matemático francês, mas os italianos continuavam a reivindicá-lo como italiano.

Unidades de medida

Lagrange esteve envolvido no desenvolvimento do sistema métrico de medição na década de 1790. Foi oferecida a ele a presidência da Comissão para a reforma dos pesos e medidas (la Commission des Poids et Mesures) quando ele se preparava para escapar. Após a morte de Lavoisier em 1794, foi em grande parte Lagrange quem influenciou a escolha das unidades metro e quilograma com subdivisão decimal, pela comissão de 1799. Lagrange também foi um dos membros fundadores do Bureau des Longitudes em 1795.

Escola Normal

Em 1795, Lagrange foi nomeado para uma cadeira de matemática na recém-criada École Normale, que teve uma curta existência de apenas quatro meses. Suas palestras lá eram elementares; não contêm nada de importância matemática, embora forneçam uma breve visão histórica de sua razão para propor o undecimal ou Base 11 como o número base para o sistema reformado de pesos e medidas. As palestras foram publicadas porque os professores tinham que "comprometer-se com os representantes do povo e entre si a não ler nem repetir de memória" ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentants du Peuple, et entr'eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits"]. Os discursos foram ordenados e registrados em taquigrafia para permitir que os deputados vissem como os professores se saíam. Também se pensava que as palestras publicadas interessariam uma parte significativa da cidadania ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux élèves de l'École Normale, on doit prévoir quיelles seront lues par une grande partie de la Nation"].

Escola Politécnica

Em 1794, Lagrange foi nomeado professor da École Polytechnique; e suas palestras lá, descritas por matemáticos que tiveram a sorte de poder frequentá-las, eram quase perfeitas tanto na forma quanto no conteúdo. Começando com os meros elementos, ele conduzia seus ouvintes até que, quase sem saber, eles próprios estendiam os limites do assunto: acima de tudo, ele incutia em seus alunos a vantagem de sempre usar métodos gerais expressos em uma notação simétrica.

No entanto, Lagrange não parece ter sido um professor de sucesso. Fourier, que assistiu às suas palestras em 1795, escreveu:

sua voz é muito fraca, pelo menos ele não se exalta; ele tem um sotaque italiano muito marcado e pronuncia o s como z [...] Os alunos, a maioria dos quais é incapaz de apreciá-lo, dão-lhe poucas boas-vindas, mas os professores compensam isso.

Últimos anos

Túmulo de Lagrange na cripta do Panteão

Em 1810, Lagrange iniciou uma revisão completa da Mécanique analytique, mas conseguiu completar apenas cerca de dois terços dela antes de sua morte em Paris em 1813, na rue du Faubourg Saint-Honoré, 128. Napoleão o honrou com a Grã-Cruz da Ordre Impérial de la Réunion apenas dois dias antes de morrer. Ele foi sepultado no mesmo ano no Panteão em Paris. A inscrição em seu túmulo diz em tradução:

JOSEPH LOUIS LAGRANGE. Senador. Conde do Império. Grande Oficial da Legião de Honra. Grã-Cruz da Imperial Ordem da Reunião. Membro do Instituto e do Bureau des Longitudes. Nascido em Turim em 25 de janeiro de 1736. Falecido em Paris em 10 de abril de 1813.

Trabalho em Berlim

Lagrange foi extremamente ativo cientificamente durante os vinte anos que passou em Berlim. Não apenas produziu sua Mécanique analytique, mas contribuiu com cerca de cem a duzentos artigos para a Academia de Turim, a Academia de Berlim e a Academia Francesa. Alguns deles são verdadeiros tratados, e todos, sem exceção, são de alto nível de excelência. Exceto por um curto período em que esteve doente, ele produziu em média cerca de um artigo por mês. Destes, observe os seguintes como os mais importantes.

Primeiro, suas contribuições para o quarto e quinto volumes, 1766–1773, da Miscellanea Taurinensia; dos quais o mais importante foi o de 1771, no qual discutiu como inúmeras observações astronômicas deveriam ser combinadas para dar o resultado mais provável. E mais tarde, suas contribuições para os dois primeiros volumes, 1784–1785, das transações da Academia de Turim; para o primeiro dos quais contribuiu com um artigo sobre a pressão exercida por fluidos em movimento, e para o segundo um artigo sobre integração por séries infinitas e o tipo de problemas para os quais é adequada.

A maioria dos artigos enviados a Paris tratava de questões astronômicas, e entre eles, incluindo seu artigo sobre o sistema Joviano em 1766, seu ensaio sobre o problema dos três corpos em 1772, seu trabalho sobre a equação secular da Lua em 1773 e seu tratado sobre perturbações cometárias em 1778. Todos foram escritos sobre assuntos propostos pela Académie française e, em cada caso, o prêmio foi concedido a ele.

Mecânica lagrangiana

Entre 1772 e 1788, Lagrange reformulou a mecânica clássica/newtoniana para simplificar fórmulas e facilitar cálculos. Essa mecânica é chamada de mecânica lagrangiana.

Álgebra

A maioria de seus artigos durante esse período foi, no entanto, contribuída para a Academia de Ciências da Prússia. Vários deles tratam de questões de álgebra.

• Sua discussão sobre representações de inteiros por formas quadráticas (1769) e por formas algébricas mais gerais (1770).
• Seu tratado sobre a Teoria da Eliminação, 1770.
• O teorema de Lagrange de que a ordem de um subgrupo H de um grupo G deve dividir a ordem de G.
• Seus artigos de 1770 e 1771 sobre o processo geral para resolver uma equação algébrica de qualquer grau por meio das resolventes de Lagrange. Este método falha em dar uma fórmula geral para soluções de uma equação de grau cinco ou superior porque a equação auxiliar envolvida tem um grau mais alto do que a original. O significado deste método é que ele exibe as fórmulas já conhecidas para resolver equações de segundo, terceiro e quarto graus como manifestações de um único princípio, e foi fundamental na teoria de Galois. A solução completa de uma equação binomial (ou seja, uma equação da forma $ax^{n}$ ± $b=0$) também é tratada nestes artigos.
• Em 1773, Lagrange considerou um determinante funcional de ordem 3, um caso especial de um Jacobiano. Ele também provou a expressão para o volume de um tetraedro com um dos vértices na origem como um sexto do valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas dos outros três vértices.

Teoria dos números

Vários de seus primeiros artigos também tratam de questões da teoria dos números.

• Lagrange (1766–1769) foi o primeiro europeu a provar que a equação de Pell x² − ny² = 1 tem uma solução não trivial nos inteiros para qualquer número natural não quadrado n.
• Ele provou o teorema, enunciado por Bachet sem justificação, de que todo inteiro positivo é a soma de quatro quadrados, 1770.
• Ele provou o teorema de Wilson de que (para qualquer inteiro n > 1): n é primo se e somente se (n − 1)! + 1 é um múltiplo de n, 1771.
• Seus artigos de 1773, 1775 e 1777 deram demonstrações de vários resultados enunciados por Fermat e não provados anteriormente.
• Seu Recherches d'Arithmétique de 1775 desenvolveu uma teoria geral de formas quadráticas binárias para lidar com o problema geral de quando um inteiro é representável pela forma ax² + by² + cxy.
• Ele fez contribuições para a teoria das frações contínuas.

Outros trabalhos matemáticos

Há também numerosos artigos sobre vários pontos da geometria analítica. Em dois deles, escritos um pouco mais tarde, em 1792 e 1793, ele reduziu as equações das quádricas (ou conicoides) às suas formas canônicas.

Durante os anos de 1772 a 1785, contribuiu com uma longa série de artigos que criaram a ciência das equações diferenciais parciais. Grande parte desses resultados foi coletada na segunda edição do cálculo integral de Euler, publicada em 1794.

Astronomia

Por fim, há numerosos artigos sobre problemas em astronomia. Destes, os mais importantes são os seguintes:

• Tentativa de resolver o problema geral dos três corpos, com a consequente descoberta das duas soluções de padrão constante, colinear e equilátera, 1772. Essas soluções foram posteriormente vistas para explicar o que são agora conhecidos como pontos de Lagrange.
• Sobre a atração de elipsoides, 1773: baseado no trabalho de Maclaurin.
• Sobre a equação secular da Lua, 1773; também notável pela introdução mais antiga da ideia do potencial. O potencial de um corpo em qualquer ponto é a soma da massa de cada elemento do corpo dividida por sua distância do ponto. Lagrange mostrou que, se o potencial de um corpo em um ponto externo fosse conhecido, a atração em qualquer direção poderia ser encontrada imediatamente. A teoria do potencial foi elaborada em um artigo enviado a Berlim em 1777.
• Sobre o movimento dos nodos da órbita de um planeta, 1774.
• Sobre a estabilidade das órbitas planetárias, 1776.
• Dois artigos nos quais o método de determinar a órbita de um cometa a partir de três observações é completamente desenvolvido, 1778 e 1783: isso não provou ser praticamente disponível, mas seu sistema de calcular as perturbações por meio de quadraturas mecânicas formou a base da maioria das pesquisas subsequentes sobre o assunto.
• Sua determinação das variações seculares e periódicas dos elementos dos planetas, 1781–1784: os limites superiores atribuídos para estes concordam estreitamente com os obtidos posteriormente por Le Verrier, e Lagrange prosseguiu até onde o conhecimento então possuído das massas dos planetas permitia.
• Três artigos sobre o método de interpolação, 1783, 1792 e 1793: a parte das diferenças finitas que trata disso está agora no mesmo estágio em que Lagrange a deixou.

Tratado fundamental

Acima e além desses vários artigos, ele compôs seu tratado fundamental, a Mécanique analytique.

Neste livro, ele estabelece a lei do trabalho virtual e, a partir desse único princípio fundamental, com o auxílio do cálculo de variações, deduz toda a mecânica, tanto de sólidos quanto de fluidos.

O objetivo do livro é mostrar que o assunto está implicitamente incluído em um único princípio e dar fórmulas gerais a partir das quais qualquer resultado particular pode ser obtido. O método das coordenadas generalizadas pelo qual ele obteve esse resultado é talvez o mais brilhante de sua análise. Em vez de seguir o movimento de cada parte individual de um sistema material, como D'Alembert e Euler haviam feito, ele mostrou que, se determinarmos sua configuração por um número suficiente de variáveis x, chamadas coordenadas generalizadas, cujo número é o mesmo que o dos graus de liberdade possuídos pelo sistema, então as energias cinética e potencial do sistema podem ser expressas em termos dessas variáveis, e as equações diferenciais de movimento daí deduzidas por simples diferenciação. Por exemplo, na dinâmica de um sistema rígido, ele substitui a consideração do problema particular pela equação geral, que agora é geralmente escrita na forma

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,$

onde T representa a energia cinética e V representa a energia potencial do sistema. Ele então apresentou o que hoje conhecemos como método dos multiplicadores de Lagrange — embora não seja a primeira vez que esse método foi publicado — como um meio de resolver esta equação. Entre outros teoremas menores aqui apresentados, basta mencionar a proposição de que a energia cinética transmitida pelos impulsos dados a um sistema material sob restrições dadas é máxima, e o princípio da ação mínima. Toda a análise é tão elegante que Sir William Rowan Hamilton disse que a obra só poderia ser descrita como um poema científico. Lagrange observou que a mecânica era realmente um ramo da matemática pura análogo a uma geometria de quatro dimensões, a saber, o tempo e as três coordenadas do ponto no espaço; e diz-se que ele se orgulhava de que do início ao fim da obra não houvesse um único diagrama. No início, nenhum impressor pôde ser encontrado para publicar o livro; mas Legendre finalmente persuadiu uma firma parisiense a empreendê-lo, e foi emitido sob a supervisão de Laplace, Cousin, Legendre (editor) e Condorcet em 1788.

Trabalho na França

Cálculo diferencial e cálculo de variações

Joseph-Louis Lagrange

As palestras de Lagrange sobre o cálculo diferencial na École Polytechnique formam a base de seu tratado Théorie des fonctions analytiques, publicado em 1797. Esta obra é a extensão de uma ideia contida em um artigo que ele havia enviado aos artigos de Berlim em 1772, e seu objetivo é substituir o cálculo diferencial por um grupo de teoremas baseados no desenvolvimento de funções algébricas em séries, baseando-se particularmente no princípio da generalidade da álgebra.

Um método um tanto semelhante havia sido usado anteriormente por John Landen na Residual Analysis, publicada em Londres em 1758. Lagrange acreditava que poderia assim se livrar daquelas dificuldades, conectadas com o uso de quantidades infinitamente grandes e infinitamente pequenas, às quais os filósofos objetavam no tratamento usual do cálculo diferencial. O livro está dividido em três partes: destas, a primeira trata da teoria geral das funções e dá uma prova algébrica do teorema de Taylor, cuja validade é, no entanto, questionável; a segunda trata das aplicações à geometria; e a terceira das aplicações à mecânica.

Outro tratado na mesma linha foi seu Leçons sur le calcul des fonctions, publicado em 1804, com a segunda edição em 1806. É neste livro que Lagrange formulou seu célebre método dos multiplicadores de Lagrange, no contexto de problemas de cálculo variacional com restrições integrais. Essas obras dedicadas ao cálculo diferencial e ao cálculo de variações podem ser consideradas como o ponto de partida para as pesquisas de Cauchy, Jacobi e Weierstrass.

• 
  Cópia de 1813 de "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  Página de rosto de "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  Introdução a "Theorie des fonctions analytiques"
• 
  Primeira página de "Theorie des fonctions analytiques"

Página de rosto do volume I da "Mécanique Analytique" de Lagrange (1811)

Infinitesimais

Em um período posterior, Lagrange abraçou plenamente o uso de infinitesimais em vez de fundar o cálculo diferencial no estudo de formas algébricas; e no prefácio da segunda edição da Mécanique Analytique, publicada em 1811, ele justifica o emprego de infinitesimais e conclui dizendo que:

Quando tivermos compreendido o espírito do método infinitesimal e verificado a exatidão de seus resultados, seja pelo método geométrico das razões primeiras e últimas, seja pelo método analítico das funções derivadas, podemos empregar quantidades infinitamente pequenas como um meio seguro e valioso de abreviar e simplificar nossas provas.

Teoria dos números

Sua Résolution des équations numériques, publicada em 1798, também foi fruto de suas palestras na École Polytechnique. Lá ele dá o método de aproximar as raízes reais de uma equação por meio de frações contínuas e enuncia vários outros teoremas. Em uma nota no final, ele mostra como o pequeno teorema de Fermat, isto é,

$a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}$

onde p é primo e a é primo de p, pode ser aplicado para dar a solução algébrica completa de qualquer equação binomial. Ele também explica aqui como a equação cujas raízes são os quadrados das diferenças das raízes da equação original pode ser usada para fornecer informações consideráveis sobre a posição e a natureza dessas raízes.

Mecânica celeste

Uma teoria dos movimentos planetários havia sido o assunto de alguns dos mais notáveis artigos de Lagrange em Berlim. Em 1806, o assunto foi reaberto por Poisson, que, em um artigo lido perante a Academia Francesa, mostrou que as fórmulas de Lagrange levavam a certos limites para a estabilidade das órbitas. Lagrange, que estava presente, discutiu então todo o assunto novamente e, em uma carta comunicada à academia em 1808, explicou como, pela variação das constantes arbitrárias, as desigualdades periódicas e seculares de qualquer sistema de corpos que interagem mutuamente poderiam ser determinadas.

Prêmios e distinções

Euler propôs Lagrange para eleição na Academia de Berlim, e ele foi eleito em 2 de setembro de 1756. Foi eleito membro da Royal Society of Edinburgh em 1790, membro da Royal Society e membro estrangeiro da Real Academia Sueca de Ciências em 1806. Em 1808, Napoleão tornou Lagrange Grande Oficial da Legião de Honra e Conde do Império. Foi agraciado com a Grã-Cruz da Ordre Impérial de la Réunion em 1813, uma semana antes de sua morte em Paris, e foi sepultado no Panteão, um mausoléu dedicado aos franceses mais honrados.

Lagrange recebeu o prêmio de 1764 da Academia Francesa de Ciências por sua memória sobre a libração da Lua. Em 1766, a academia propôs um problema sobre o movimento dos satélites de Júpiter, e o prêmio novamente foi concedido a Lagrange. Ele também compartilhou ou ganhou os prêmios de 1772, 1774 e 1778.

Lagrange é um dos 72 cientistas franceses proeminentes que foram comemorados em placas no primeiro estágio da Torre Eiffel quando ela foi inaugurada. Rue Lagrange no 5º Arrondissement em Paris tem o seu nome. Em Turim, a rua onde a casa de seu nascimento ainda está de pé chama-se via Lagrange. A cratera lunar Lagrange e o asteroide 1006 Lagrangea também recebem seu nome.

Ver também

• Lista de coisas nomeadas em homenagem a Joseph-Louis Lagrange
• Espaço quadridimensional
• Lei de Gauss
• História do metro
• Papel de Lagrange na reforma da medição
• Pêndulo de segundos

Referências

Ligações externas

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Joseph-Louis Lagrange», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews 
• Pepe, Luigi (2013). «Lagrange, Giuseppe Luigi». Il Contributo italiano alla storia del Pensiero: Scienze. Rome: Istituto dell'Enciclopedia Italiana. Consultado em 21 de junho de 2025 
• Lagrange, Joseph Louis de: The Encyclopedia of Astrobiology, Astronomy and Space Flight
• Joseph-Louis Lagrange (em inglês) no Mathematics Genealogy Project
• The Founders of Classical Mechanics: Joseph Louis Lagrange
• The Lagrange Points
• Derivation of Lagrange's result (not Lagrange's method)
• Obras de Lagrange (em francês) Oeuvres de Lagrange, editado por Joseph Alfred Serret, Paris 1867, digitalizado por Göttinger Digitalisierungszentrum (Mécanique analytique está nos volumes 11 e 12.)
• Joseph Louis de Lagrange – Œuvres complètes Gallica-Math
• Inventaire chronologique de l'œuvre de Lagrange Persee
• Obras de Joseph-Louis Lagrange (em inglês) no Projeto Gutenberg
• Obras de ou sobre Joseph-Louis Lagrange no Internet Archive
• Mécanique analytique (Paris, 1811-15)