Sedemkotnikov trikotnik

Eden od 14-ih sedemkotnikovih trikotnikov v pravilnem (izbočenem) sedemkotniku.

  stranica pravilnega (izbočenega) sedemkotnika $a\!\,$

  kratke diagonale $a_{1}\!\,$

  dolge diagonale $a_{2}\!\,$

Obstaja štirinajst skladnih sedemkotnikovih trikotnikov, sestavljenih iz ene zelene, ene modre in ene rdeče stranice.

Sedemkotnikov trikotnik je v evklidski geometriji topokotni, raznostranični trikotnik, katerega oglišča sovpadajo s prvim, drugim in četrtim ogliščem pravilnega sedemkotnika (iz poljubnega začetnega oglišča). Tako njegove stranice sovpadajo z eno stranico in sosednjima kratko in dolgo diagonalo pravilnega sedemkotnika.

Vsi sedemkotnikovi trikotniki so si podobni (imajo enako obliko), zato so skupaj znani kot sedemkotnikov trikotnik. Med seboj so tudi skladni. Njegovi koti imajo velikosti v radianih:

$\pi /7=0,{\overline {142\ 857}}\ldots \cdot \pi \!\,$,

$2\pi /7=0,{\overline {285\ 714}}\ldots \cdot \pi \!\,$ in

$4\pi /7=0,{\overline {571\ 428}}\ldots \cdot \pi \!\,$,

oziroma približno 26°, 51° in 103°. Do podobnosti je edini trikotnik s koti in posledično stranicami v razmerjih 1 : 2 : 4. Sedemkotnikov trikotnik ima tako kot zlati trikotnik, katerega koti so v razmerju 1 : 2 : 2, različne izjemne lastnosti.

Ključne in razne lastnosti

Za sedemkotnikov trikotnik (oranžno) je trikotnik (modro), ki ga tvorita središče očrtane krožnice $O\!\,$ in njegovi dve Fermat-Torricellijevi točki $F_{\rm {mint}}\!\,$ in $F_{\rm {mext}}\!\,$, enakostraničen.

Središče krožnice devetih točk sedemkotnikovega trikotnika je tudi njegova prva Brocardova točka.

Druga Brocardova točka leži na krožnici devetih točk.

Središče očrtane krožnice $O\!\,$ in Fermat-Torricellijevi točki (izogonski središči) $F\!\,$ sedemkotnikovega trikotnika tvorijo enakostranični trikotnik.

Razdalja med središčem očrtane krožnice $O\!\,$ in višinsko točko (ortocentrom) $H\!\,$ je podana z:

$OH=R{\sqrt {2}}\!\,,$

kjer je $R\!\,$ polmer očrtane krožnice. Kvadrat razdalje od središča včrtane krožnice $I\!\,$ do višinske točke je:

$IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}}\!\,,$

kjer je $r\!\,$ polmer včrtane krožnice.

Tangenti iz višinske točke na očrtano krožnico sta medsebojno pravokotni.

Razmerja razdalj

Stranice

Stranice sedemkotnikovega trikotnika $a<b<c\!\,$ sovpadajo s stranico, kratko in dolgo diagonalo pravilnega sedemekotnika. Zanje veljajo zveze:

${\begin{aligned}a^{2}&=c(c-b),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}\!\,,$

(kjer se zadnja zveza imenuje optična enačba) in tako:

$ab+ac=bc\!\,,$

ter:

$b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0\!\,,$

$c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0\!\,,$

$a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0\!\,.$

Optična enačba sledi iz Ptolemejevega izreka za tetivni štirikotnik s stranicami $c\!\,$, $a\!\,$, $a\!\,$ in $b\!\,$, ter diagonalama $c\!\,$ in $b\!\,$, kjer se izrek deli z $abc\!\,$:

${\frac {cb}{abc}}={\frac {ca+ab}{abc}}={\frac {ca}{abc}}+{\frac {ab}{abc}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\!\,.$

Za razmerja $-b/c\!\,$, $c/a\!\,$ in $a/b\!\,$ velja kubična enačba:

$t^{3}-2t^{2}-t+1=0\!\,.$

Vendar za rešitve te enačbe ne obstajajo algebrski izrazi s čisto realnimi členi, ker je to primer casusa irreducibilisa.

Približna zveza stranic je:

$b\approx 1,801\ 93\cdot a,\qquad c\approx 2,246\ 98\cdot a\!\,.$

Tudi za razmerja:

${\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}\!\,$

velja kubična enačba:

$t^{3}+4t^{2}+3{t}-1=0\!\,.$

Prav tako za razmerja:

${\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}$

podobno velja kubična enačba:

$t^{3}-t^{2}-9t+1=0\!\,.$

Tudi za razmerja:

${\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}$

velja kubična enačba:

$t^{3}+5t^{2}-8t+1=0\!\,.$

Veljajo tudi zveze:

$b^{2}-a^{2}=ac\!\,,$

$c^{2}-b^{2}=ab\!\,,$

$a^{2}-c^{2}=-bc\!\,$

in:

${\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5\!\,.$

Veljajo tudi zveze:

$ab-bc+ca=0\!\,,$

$a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0\!\,,$

$a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0\!\,,$

$a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0\!\,.$

Višine

Za višine $h_{a}\!\,$, $h_{b}\!\,$ in $h_{c}\!\,$ velja:

$h_{a}=h_{b}+h_{c}\!\,$

in:

$h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\!\,.$

Višina na stranico $b\!\,$ (nasprotni kot $\beta \!\,$ je enaka polovici simetrale notranjega kota $w_{\alpha }$ kota $\alpha \!\,$:

$2h_{b}=w_{\alpha }\!\,.$

Tukaj je $\alpha \!\,$ najmanjši notranji kot, $\beta \!\,$ pa drugi najmanjši.

Simetrale notranjih kotov

Za simetrale notranjih kotov $w_{\alpha },w_{\beta }\!\,$ in $w_{\gamma }\!\,$ kotov $\alpha ,\beta \!\,$ in $\gamma \!\,$ veljajo naslednje lastnosti:

$w_{\alpha }=b+c\!\,,$

$w_{\beta }=c-a\!\,,$

$w_{\gamma }=b-a\!\,.$

Polmer očrtane, včrtane in pričrtane krožnice

Ploščina sedemkotnikovega trikotnika je enaka:

$p={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2}\!\,,$

kjer je $R\!\,$ polmer očrtane krožnice trikotnika.

Vsota kvadratov stranic sedemkotnikovega trikotnika je enaka:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}\!\,.$

Velja tudi:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}\!\,,$

$a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}\!\,.$

Razmerje $r/R\!\,$ polmera včrtane krožnice in polmera očrtane krožnice je enako pozitivni rešitvi kubične enačbe:

$8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0\!\,.$

Poleg tega je za dolžine stranic:

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}\!\,.$

Velja še:

${\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}\!\,,$

${\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}{}}}\!\,.$

Na splošno za vsa cela števila $n\!\,$ velja:

$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}\!\,,$

kjer je:

$g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7\!\,$

in:

$g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3)\!\,.$

Velja tudi:

$2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR\!\,$

in:

$a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4}\!\,,$

$a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5}\!\,,$

$a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}\!\,.$

Polmer pričrtane krožnice $r_{a}\!\,$, ki ustreza stranici $a\!\,$, je enak polmeru krožnice devetih točk sedemkotnikovega trikotnika.

Višinski trikotnik

Sedemkotnikov trikotnik (oranžno) je edini topokotni trikotnik, ki je podoben svojemu višinskemu (ortičnemu) trikotniku (zeleno). Očrtana krožnica višinskega trikotnika sedemkotnikovega trikotnika je krožnica devetih točk (vijolično).

Višinski ali ortični trikotnik sedemkotnikovega trikotnika z oglišči pri vznožjih višin je podoben sedemkotnikovemu trikotniku, s podobnostnim razmerjem 1 : 2. Sedemkotnikov trikotnik je edini topokotni trikotnik, ki je podoben svojemu višinskemu trikotniku (enakostranični trikotnik je edini ostrokotni trikotnik z isto lastnostjo in enakim sorazmerjem).

Očrtana krožnica višinskega trikotnika sedemkotnikovega trikotnika je krožnica devetih točk (Eulerjeva krožnica).

Hiperbola

Pravokotna hiperbola skozi točke $A,B,C,G=X(2),H=X(4)\!\,$ ima naslednje lastnosti:

• prvo gorišče $F_{1}=X(5)\!\,$
• središče $U\!\,$ leži na krožnici devetih točk (splošna lastnost) in na krožnici $(O,F_{1})\!\,$
• drugo gorišče $F_{2}$ leži na očrtani krožnici

Trigonometrične lastnosti

Trigonometrične enakosti

Različne trigonometrične enakosti, povezane s sedemkotnikovim trikotnikom, so:

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos \alpha &={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\beta &={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos \beta &={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\gamma &={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos \gamma &=-{\frac {a}{2c}}\!\,\end{aligned}}$

${\begin{array}{rcccccl}\sin \alpha \!&\!\cdot \!&\!\sin \beta \!&\!\cdot \!&\!\sin \gamma \!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin \alpha \!&\!-\!&\!\sin \beta \!&\!-\!&\!\sin \gamma \!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos \alpha \!&\!\cdot \!&\!\cos \beta \!&\!\cdot \!&\!\cos \gamma \!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\operatorname {tg} \alpha \!&\!\cdot \!&\!\operatorname {tg} \beta \!&\!\cdot \!&\!\operatorname {tg} \gamma \!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\operatorname {tg} \alpha \!&\!+\!&\!\operatorname {tg} \beta \!&\!+\!&\!\operatorname {tg} \gamma \!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\operatorname {ctg} \alpha \!&\!+\!&\!\operatorname {ctg} \beta \!&\!+\!&\!\operatorname {ctg} \gamma \!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!\alpha \!&\!\cdot \!&\!\sin ^{2}\!\beta \!&\!\cdot \!&\!\sin ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\operatorname {tg} ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\operatorname {tg} ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\operatorname {tg} ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!8\\[2pt]\operatorname {ctg} ^{2}\!\alpha \!&\!+\!&\!\operatorname {ctg} ^{2}\!\beta \!&\!+\!&\!\operatorname {ctg} ^{2}\!\gamma \!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!\alpha \!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!\beta \!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!\gamma \!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!\alpha \!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!\beta \!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!\gamma \!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!\alpha \!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!\beta \!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!\gamma \!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!\alpha \!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!\beta \!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!\gamma \!&\!=\!&\!32\\[8pt]\!\,\end{array}}$

${\begin{array}{ccccl}\operatorname {tg} \alpha \!&\!-\!&\!4\sin \beta \!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\operatorname {tg} \beta \!&\!-\!&\!4\sin \gamma \!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\operatorname {tg} \gamma \!&\!+\!&\!4\sin \alpha \!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\!\,\end{array}}$

${\begin{aligned}\operatorname {ctg} ^{2}\!\alpha &=1-{\frac {2\operatorname {tg} \gamma }{\sqrt {7}}}\\[2pt]\operatorname {ctg} ^{2}\!\beta &=1-{\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{\sqrt {7}}}\\[2pt]\operatorname {ctg} ^{2}\!\gamma &=1-{\frac {2\operatorname {tg} \beta }{\sqrt {7}}}\!\,\end{aligned}}$

${\begin{array}{rcccccl}\cos \alpha \!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\sin ^{3}\!\gamma \\[2pt]\sec \alpha \!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\cdot \!&\!\cos \gamma \\[4pt]\sec \alpha \!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\cdot \!&\!\sin ^{2}\!\beta \\[4pt]\sec \alpha \!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\sin ^{3}\!\beta \\[2pt]\operatorname {ctg} \alpha \!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\sin ^{2}\!\beta \\[2pt]\operatorname {ctg} \alpha \!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\cos \beta \\[2pt]\sin ^{2}\!\alpha \!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\cdot \!&\!\cos \beta \\[2pt]\cos ^{2}\!\alpha \!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\sin ^{3}\!\alpha \\[2pt]\operatorname {ctg} ^{2}\!\alpha \!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\sin \alpha \\[2pt]\sin ^{3}\!\alpha \!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\cdot \!&\!\cos \beta \\[2pt]\csc ^{3}\!\alpha \!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\cdot \!&\!\operatorname {tg} ^{2}\!\gamma \end{array}}$

$\sin \alpha \sin \beta -\sin \beta \sin \gamma +\sin \gamma \sin \alpha =0\!\,$

${\begin{aligned}\sin ^{3}\!\beta \sin \gamma -\sin ^{3}\!\gamma \sin \alpha -\sin ^{3}\!\alpha \sin \beta &=0\\[3pt]\sin \beta \sin ^{3}\!\gamma -\sin \gamma \sin ^{3}\!\alpha -\sin \alpha \sin ^{3}\!\beta &={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin \gamma -\sin ^{4}\!\gamma \sin \alpha +\sin ^{4}\!\alpha \sin \beta &=0\\[2pt]\sin \beta \sin ^{4}\!\gamma +\sin \gamma \sin ^{4}\!\alpha -\sin \alpha \sin ^{4}\!\beta &={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{11}\!\beta \sin ^{3}\!\gamma -\sin ^{11}\!\gamma \sin ^{3}\!\alpha -\sin ^{11}\!\alpha \sin ^{3}\!\beta &=0\\[2pt]\sin ^{3}\!\beta \sin ^{11}\!\gamma -\sin ^{3}\!\gamma \sin ^{11}\!\alpha -\sin ^{3}\!\alpha \sin ^{11}\!\beta &={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}\!\,$

Kubični polinomi

Kubična enačba $64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0\!\,$ ima rešitve: $\sin ^{2}\!\alpha ,\ \sin ^{2}\!\beta ,\ \sin ^{2}\!\gamma \!\,$.

Pozitivna rešitev kubične enačbe $x^{3}+x^{2}-2{x}-1=0\!\,$ je enaka $2\cos \beta \!\,$.

Ničle kubične enačbe $x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0\!\,$ so: $\sin 2\alpha ,\ \sin 2\beta ,\ \sin 2\gamma \!\,$.

Ničle kubične enačbe $x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0\!\,$ so: $-\sin \alpha ,\ \sin \beta ,\ \sin \gamma \!\,$.

Ničle kubične enačbe $x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0\!\,$ so: $-\cos \alpha ,\ \cos \beta ,\ \cos \gamma \!\,$.

Ničle kubične enačbe $x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0\!\,$ so: $\operatorname {tg} \alpha ,\ \operatorname {tg} \beta ,\ \operatorname {tg} \gamma \!\,$.

Ničle kubične enačbe $x^{3}-21x^{2}+35x-7=0\!\,$ so: $\operatorname {tg} ^{2}\!\alpha ,\ \operatorname {tg} ^{2}\!\beta ,\ \operatorname {tg} ^{2}\!\gamma \!\,$.

Zaporedja

Za celo število $n\!\,$ naj velja:

${\begin{aligned}S(n)&=(-\sin \alpha )^{n}+\sin ^{n}\!\beta +\sin ^{n}\!\gamma \\[4pt]C(n)&=(-\cos \alpha )^{n}+\cos ^{n}\!\beta +\cos ^{n}\!\gamma \\[4pt]T(n)&=\operatorname {tg} ^{n}\!\alpha +\operatorname {tg} ^{n}\!\beta +\operatorname {tg} ^{n}\!\gamma \!\,\end{aligned}}$

$n\!\,$:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$S(n)\!\,$	$\ 3\ \!\,$	${\tfrac {\sqrt {7}}{2}}\!\,$	${\tfrac {7}{2^{2}}}\!\,$	${\tfrac {\sqrt {7}}{2}}\!\,$	${\tfrac {7\cdot 3}{2^{4}}}\!\,$	${\tfrac {7{\sqrt {7}}}{2^{4}}}\!\,$	${\tfrac {7\cdot 5}{2^{5}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}{\sqrt {7}}}{2^{7}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 5}{2^{8}}}\!\,$	${\tfrac {7\cdot 25{\sqrt {7}}}{2^{9}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 9}{2^{9}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 13{\sqrt {7}}}{2^{11}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 33}{2^{11}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{9}}}\!\,$	${\tfrac {7^{4}\cdot 5}{2^{14}}}\!\,$	${\tfrac {7^{2}\cdot 179{\sqrt {7}}}{2^{15}}}\!\,$	${\tfrac {7^{3}\cdot 131}{2^{16}}}\!\,$	${\tfrac {7^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{2^{12}}}\!\,$	${\tfrac {7^{3}\cdot 493}{2^{18}}}\!\,$	${\tfrac {7^{3}\cdot 181{\sqrt {7}}}{2^{18}}}\!\,$	${\tfrac {7^{5}\cdot 19}{2^{19}}}\!\,$
$S(-n)\!\,$	$3\!\,$	$0\!\,$	$2^{3}\!\,$	$-{\tfrac {2^{3}\cdot 3{\sqrt {7}}}{7}}\!\,$	$2^{5}\!\,$	$-{\tfrac {2^{5}\cdot 5{\sqrt {7}}}{7}}\!\,$	${\tfrac {2^{6}\cdot 17}{7}}\!\,$	$-2^{7}{\sqrt {7}}\!\,$	${\tfrac {2^{9}\cdot 11}{7}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{10}\cdot 33{\sqrt {7}}}{7^{2}}}\!\,$	${\tfrac {2^{10}\cdot 29}{7}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{14}\cdot 11{\sqrt {7}}}{7^{2}}}\!\,$	${\tfrac {2^{12}\cdot 269}{7^{2}}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{13}\cdot 117{\sqrt {7}}}{7^{2}}}\!\,$	${\tfrac {2^{14}\cdot 51}{7}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{21}\cdot 17{\sqrt {7}}}{7^{3}}}\!\,$	${\tfrac {2^{17}\cdot 237}{7^{2}}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{17}\cdot 1445{\sqrt {7}}}{7^{3}}}\!\,$	${\tfrac {2^{19}\cdot 2203}{7^{3}}}\!\,$	$-{\tfrac {2^{19}\cdot 1919{\sqrt {7}}}{7^{3}}}\!\,$	${\tfrac {2^{20}\cdot 5851}{7^{3}}}\!\,$
$C(n)\!\,$	$3\!\,$	$-{\tfrac {1}{2}}\!\,$	${\tfrac {5}{4}}\!\,$	$-{\tfrac {1}{2}}\!\,$	${\tfrac {13}{16}}\!\,$	$-{\tfrac {1}{2}}\!\,$	${\tfrac {19}{32}}\!\,$	$-{\tfrac {57}{128}}\!\,$	${\tfrac {117}{256}}\!\,$	$-{\tfrac {193}{512}}\!\,$	${\tfrac {185}{512}}\!\,$
$C(-n)\!\,$	$3\!\,$	$-4\!\,$	$24\!\,$	$-88\!\,$	$416\!\,$	$-1824\!\,$	$8256\!\,$	$-36992\!\,$	$166400\!\,$	$-747520\!\,$	$3359744\!\,$
$T(n)\!\,$	$3\!\,$	$-{\sqrt {7}}\!\,$	$7\cdot 3\!\,$	$-31{\sqrt {7}}\!\,$	$7\cdot 53\!\,$	$-7\cdot 87{\sqrt {7}}\!\,$	$7\cdot 1011\!\,$	$-7^{2}\cdot 239{\sqrt {7}}\!\,$	$7^{2}\cdot 2771\!\,$	$-7\cdot 32119{\sqrt {7}}\!\,$	$7^{2}\cdot 53189\!\,$
$T(-n)\!\,$	$3\!\,$	${\sqrt {7}}\!\,$	$5\!\,$	${\tfrac {25{\sqrt {7}}}{7}}\!\,$	$19\!\,$	${\tfrac {103{\sqrt {7}}}{7}}\!\,$	${\tfrac {563}{7}}\!\,$	$7\cdot 9{\sqrt {7}}\!\,$	${\tfrac {2421}{7}}\!\,$	${\tfrac {13297{\sqrt {7}}}{7^{2}}}\!\,$	${\tfrac {10435}{7}}\!\,$

Ramanudžanove enakosti

Ramanudžanove enakosti so:

${\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2\gamma }}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2\gamma }}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\gamma }}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\cdot {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2\gamma }}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\gamma }}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\gamma }}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\alpha }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\beta }}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\gamma }}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\cdot {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\!\,\end{array}}$

${\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2\gamma }}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\cdot {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2\gamma }}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2\gamma }}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2\gamma }}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} 2\gamma }}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\cdot {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\operatorname {tg} ^{2}2\gamma }}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\!\,\end{array}}$

${\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\alpha }{\cos 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\beta }{\cos 2\gamma }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\gamma }{\cos 2\alpha }}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\beta }{\cos 2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\gamma }{\cos 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2\alpha }{\cos 2\gamma }}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2\beta }{\cos 2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2\gamma }{\cos 2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2\alpha }{\cos 2\gamma }}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\alpha }{\cos ^{2}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\beta }{\cos ^{2}2\gamma }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\gamma }{\cos ^{2}2\alpha }}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\beta }{\cos ^{2}2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\gamma }{\cos ^{2}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2\alpha }{\cos ^{2}2\gamma }}}\!&\!=\!&\!-3\cdot {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2\alpha }{\cos ^{5}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2\gamma }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2\gamma }{\cos ^{5}2\alpha }}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2\beta }{\cos ^{5}2\alpha }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2\gamma }{\cos ^{5}2\beta }}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2\alpha }{\cos ^{5}2\gamma }}}\!&\!=\!&\!-61\cdot {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}\!\,.\end{array}}$

Viri

• Altintas, Abdilkadir (2016), »Some Collinearities in the Heptagonal Triangle« (PDF), Forum Geometricorum, 16: 249–256, ISSN 1534-1178, Zbl 1347.51001, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 13. avgusta 2016, pridobljeno 14. septembra 2025
• Bankoff, Leon; Garfunkel, Jack (1973), »The Heptagonal Triangle«, Mathematics Magazine, 46 (1): 7–19, doi:10.2307/2688574, JSTOR 2688574
• Moll, Victor H. (24. september 2007). »An elementary trigonometric equation«. arXiv:0709.3755 [math.NT].
• Gleason, Andrew Mattei (Marec 1988), »Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon« (PDF), The American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, JSTOR 2323624, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 19. decembra 2015
• Wang, Kai (september 2018), Trigonometric Properties For Heptagonal Triangle (v angleščini) – prek ResearchGate{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Wang, Kai (2019), »Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities«, Forum Geometricorum, 19: 29–38
• Wang, Kai (Avgust 2019), On cubic equations with zero sums of cubic roots of roots (v angleščini) – prek ResearchGate
• Wang, Kai (Oktober 2019), On Ramanujan Type Identities For PI/7 (v angleščini) – prek ResearchGate
• Weisstein, Eric Wolfgang (1999). »Heptagonal Triangle«. MathWorld (v angleščini). Pridobljeno 2. avgusta 2024.
• Witula, Roman; Slota, Damian (2007), »New Ramanujan-Type Formulas and Quasi-Fibonacci Numbers of Order 7« (PDF), Journal of Integer Sequences, 10 (5) 07.5.6, Bibcode:2007JIntS..10...56W
• Yiu, Paul (2009), »Heptagonal Triangles and Their Companions« (PDF), Forum Geometricorum, 9: 125–148, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 12. februarja 2017, pridobljeno 14. decembra 2025